сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 176
i

«Уг­ло­ве весы» устро­е­ны сле­ду­ю­щим об­ра­зом: на ци­линдр ста­вит­ся лёгкая ли­ней­ка с за­креплёнными на кон­цах гру­за­ми так, чтобы се­ре­ди­на ли­ней­ки по­па­ла на верх­нюю точку ци­лин­дра (см. рис). После уста­нов­ле­ния рав­но­ве­сия из­ме­ря­ют угол между ли­ней­кой и го­ри­зон­та­лью. Чему равно от­но­ше­ние масс гру­зов, если этот угол равен 18°? Длина ли­ней­ки 10 см, ра­ди­ус ци­лин­дра 1 см. Про­скаль­зы­ва­ния нет.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Когда ли­ней­ку c раз­ны­ми за­креп­лен­ны­ми гру­за­ми ста­вят так, что ее се­ре­ди­на со­при­кос­нет­ся с верх­ней точ­кой ци­лин­дра, си­сте­ма не на­хо­дит­ся в рав­но­ве­сии. По пра­ви­лу ры­ча­га более тя­же­лый груз (массы M) не может быть урав­но­ве­шен менее тя­же­лым (массы m), по­то­му что у обоих сил тя­же­сти плечи равны по­ло­ви­не до­ли­ны ли­ней­ки (L/2). Си­сте­ма будет в рав­но­ве­сии, когда ли­ней­ка от­кло­нит­ся на опре­де­лен­ный угол  альфа , и при этом точка со­при­кос­но­ве­ния ли­ней­ки с ци­лин­дром сме­стит­ся на не­ко­то­рое рас­сто­я­ние \Delta вдоль ли­ней­ки (см. рис.). Тогда длина от­рез­ка от тояки со­при­кос­но­ве­ния до мень­ше­го груза будет равна  дробь: чис­ли­тель: L, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс \Delta, а для боль­ше­го  дробь: чис­ли­тель: L, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс \Delta. По усло­вию ли­ней­ка лёгкая то есть её массу учи­ты­вать не нужно, тогда по пра­ви­лу ры­ча­га в рав­но­ве­сии по­лу­чим

 дробь: чис­ли­тель: M g, зна­ме­на­тель: m g конец дроби = дробь: чис­ли­тель: L / 2 плюс \Delta, зна­ме­на­тель: L / 2 минус \Delta конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: M, зна­ме­на­тель: m конец дроби = дробь: чис­ли­тель: L / 2 плюс \Delta, зна­ме­на­тель: L / 2 минус \Delta конец дроби ,

где g  — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния. Для на­хож­де­ния от­но­ше­ния масс гру­зов оста­лось найти \Delta.

По усло­вию про­скаль­зы­ва­ния нет, а зна­чит при от­кло­не­нии ли­ней­ка не будет про­скаль­зы­вать в точке со­при­кос­но­ве­ния с ци­лин­дром. Тогда, вдоль ли­ней­ки точка со­при­кос­но­ве­ния пе­ре­ме­стит­ся на то же рас­сто­я­ние, что и вдоль по­верх­но­сти ци­лин­дра. Это рас­сто­я­ние равно длине дуги се­че­ния ци­лин­дра, ко­то­рую легко найти зная из усло­вия угол  альфа =18 гра­ду­сов

\Delta= дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби Пи r \approx 0,314\; см.

Те­перь под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние \Delta в урав­не­ние для от­но­ше­ния масс и по­лу­чим ответ

 дробь: чис­ли­тель: M, зна­ме­на­тель: m конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 плюс 0,314, зна­ме­на­тель: 5 минус 0,314 конец дроби =1,134.

Ответ: 1,134.

Классификатор: Ме­ха­ни­ка. Ста­ти­ка. Рав­но­ве­сие вращ. и невращ. тел