сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 182
i

В под­ва­ле об­ще­жи­тия уста­нов­лен ото­пи­тель­ный котёл, снаб­жа­ю­щий го­ря­чей водой ду­ше­вую. В котёл по­сту­па­ет вода при тем­пе­ра­ту­ре 10 °C. На­гре­ва­тель по­сто­ян­ной мощ­но­сти ра­бо­та­ет толь­ко когда тем­пе­ра­ту­ра воды в котле мень­ше опре­делённого зна­че­ния. Когда душ при­ни­ма­ют 3 че­ло­ве­ка, тем­пе­ра­ту­ра в котле равна 80 °C, а когда 8 че­ло­век  — 60 °C. Чему равна тем­пе­ра­ту­ра в котле, когда душ при­ни­ма­ют 6 че­ло­век? Счи­тай­те, что рас­ход го­ря­чей воды одним че­ло­ве­ком не за­ви­сит от её тем­пе­ра­ту­ры, и вода в котле быст­ро пе­ре­ме­ши­ва­ет­ся.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

У котла есть 2 ре­жи­ма ра­бо­ты. Пер­вый  — на­гре­ва­тель ра­бо­та­ет по­сто­ян­но, тем­пе­ра­ту­ра в котле мень­ше не­ко­то­ро­го Tm. Вто­рой  — тем­пе­ра­ту­ра в котле равна Tm, на­гре­ва­тель ра­бо­та­ет на под­дер­жа­ние тем­пе­ра­ту­ры (не­по­сто­ян­но). Рас­смот­рим ра­бо­ту котла в пер­вом ре­жи­ме. Мощ­ность на­гре­ва­те­ля P идёт на на­грев воды от тем­пе­ра­ту­ры T0 до тем­пе­ра­ту­ры T < Tm. Если обо­зна­чить за \mu рас­ход го­ря­чей воды в еди­ни­цу вре­ме­ни на од­но­го че­ло­ве­ка, то можно за­пи­сать:

P=N \mu c левая круг­лая скоб­ка T минус T_0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

где N  — ко­ли­че­ство людей, од­но­вре­мен­но при­ни­ма­ю­щих душ, c  — теплоёмкость воды. Вы­ра­зим T:

T левая круг­лая скоб­ка N пра­вая круг­лая скоб­ка =T_0 плюс дробь: чис­ли­тель: P, зна­ме­на­тель: \mu c конец дроби дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: N конец дроби =10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка C плюс дробь: чис­ли­тель: \tau, зна­ме­на­тель: N конец дроби ,

где \tau  — не­ко­то­рая кон­стан­та, не за­ви­ся­щая от ко­ли­че­ства людей. Те­перь до­ста­точ­но найти \tau, чтобы опре­де­лить тем­пе­ра­ту­ру в котле, когда душ при­ни­ма­ют 6 че­ло­век. Рас­смот­рим два слу­чая, пред­став­лен­ные в усло­вии (N  =  3 и N  =  8):

T левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка C плюс дробь: чис­ли­тель: \tau_1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =80 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка C \Rightarrow \tau_1=210 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка C,

T левая круг­лая скоб­ка 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка C плюс дробь: чис­ли­тель: \tau_2, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби =60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка C \Rightarrow \tau_2=400 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка C.

Так как \tau_1 не равно q\tau_2, то один из слу­ча­ев со­от­вет­сву­ет ре­жи­му ра­бо­ты котла, при ко­то­ром на­гре­ва­тель ра­бо­та­ет на под­дер­жа­ние мак­си­маль­ной тем­пе­ра­ту­ры (не­по­сто­ян­но). Ясно, что это слу­чай N  =  3, так как ему со­от­вет­ству­ет боль­шая тем­пе­ра­ту­ра:

T_m=T левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =80 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка C

Тем­пе­ра­ту­ра в слу­чае N  =  7 мень­ше Tm, зна­чит, этот слу­чай со­от­вет­ству­ет ре­жи­му ра­бо­ты котла, при ко­то­ром на­гре­ва­тель ра­бо­та­ет по­сто­ян­но. Сле­до­ва­тель­но:

\tau=\tau_2=450 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка C

Найдём тем­пе­ра­ту­ру в котле, когда душ при­ни­ма­ют 6 че­ло­век, счи­тая, что на­гре­ва­тель ра­бо­та­ет по­сто­ян­но:

T левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка C плюс дробь: чис­ли­тель: 350 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка C , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = целая часть: 76, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка C.

Это зна­че­ние мень­ше Tm, зна­чит, на­гре­ва­тель дей­стви­тель­но ра­бо­та­ет по­сто­ян­но, и можно поль­зо­вать­ся по­лу­чен­ной за­ви­си­мо­стью T(N).

 

Ответ: 76,7 °C.

Классификатор: МКТ и тер­мо­ди­на­ми­ка. Теп­ло­вая мощ­ность