В подвале общежития установлен отопительный котёл, снабжающий горячей водой душевую. В котёл поступает вода при температуре 10 °C. Нагреватель постоянной мощности работает только когда температура воды в котле меньше определённого значения. Когда душ принимают 3 человека, температура в котле равна 80 °C, а когда 8 человек — 60 °C. Чему равна температура в котле, когда душ принимают 6 человек? Считайте, что расход горячей воды одним человеком не зависит от её температуры, и вода в котле быстро перемешивается.
У котла есть 2 режима работы. Первый — нагреватель работает постоянно, температура в котле меньше некоторого Tm. Второй — температура в котле равна Tm, нагреватель работает на поддержание температуры (непостоянно). Рассмотрим работу котла в первом режиме. Мощность нагревателя P идёт на нагрев воды от температуры T0 до температуры T < Tm. Если обозначить за расход горячей воды в единицу времени на одного человека, то можно записать:
где N — количество людей, одновременно принимающих душ, c — теплоёмкость воды. Выразим T:
где — некоторая константа, не зависящая от количества людей. Теперь достаточно найти чтобы определить температуру в котле, когда душ принимают 6 человек. Рассмотрим два случая, представленные в условии (N = 3 и N = 8):
Так как то один из случаев соответсвует режиму работы котла, при котором нагреватель работает на поддержание максимальной температуры (непостоянно). Ясно, что это случай N = 3, так как ему соответствует большая температура:
Температура в случае N = 7 меньше Tm, значит, этот случай соответствует режиму работы котла, при котором нагреватель работает постоянно. Следовательно:
Найдём температуру в котле, когда душ принимают 6 человек, считая, что нагреватель работает постоянно:
Это значение меньше Tm, значит, нагреватель действительно работает постоянно, и можно пользоваться полученной зависимостью T(N).
Ответ: 76,7 °C.