сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 195
i

Ге­ра­сим взял плот­ную пря­мо­уголь­ную до­щеч­ку и вбил в неё гвоз­ди a, b, c, d, e. Гвоз­ди a, b, c вбиты в се­ре­ди­ны сто­рон, гвоз­ди d, e  — в углы до­щеч­ки. К гвоз­дям Ге­ра­сим при­кре­пил шесть кус­ков про­во­ло­ки, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Затем он стал мед­лен­но и рав­но­мер­но опус­кать до­щеч­ку в про­во­дя­щую жид­кость, при­ло­жив раз­ность по­тен­ци­а­лов U между гвоздём a и жид­ко­стью. До­щеч­ка всё время рас­по­ло­же­на в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти, от­ре­зок de го­ри­зон­та­лен. Схема по­гру­зи­лась в жид­кость це­ли­ком за время 2\tau. Най­ди­те за­ви­си­мость пол­но­го тока в цепи от вре­ме­ни t, про­шед­ше­го с на­ча­ла по­гру­же­ния. Со­про­тив­ле­ние каж­до­го куска про­во­ло­ки ука­за­но на ри­сун­ке (ве­ли­чи­на R из­вест­на). Про­во­ло­ка не по­кры­та изо­ля­ци­ей, каж­дый из её кус­ков имеет по­сто­ян­ную тол­щи­ну. Со­про­тив­ле­ние жид­ко­сти и гвоз­дей пре­не­бре­жи­мо мало. До­щеч­ка не про­во­дит ток.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По усло­вию за­да­чи точки d и e по­гру­зят­ся в жид­кость од­но­вре­мен­но. До этого мо­мен­та ток в цепи ну­ле­вой (цепь не за­мкну­та). В мо­мент по­гру­же­ния точек d и e их по­тен­ци­ал сов­па­да­ет с по­тен­ци­а­лом жид­ко­сти. По­это­му можно на­ри­со­вать эк­ви­ва­лент­ную схему, где эти точки объ­еди­не­ны в одну, и упро­стить её (см. рис. 1, 2).

По мере даль­ней­ше­го по­гру­же­ния по части схемы, ока­зав­шей­ся в жид­ко­сти, не течет ток, так как все точки жид­ко­сти по усло­вию эк­ви­по­тен­ци­аль­ны. По­это­му со­про­тив­ле­ния, рас­по­ло­жен­ные внизу, умень­ша­ют­ся рав­но­мер­но про­пор­ци­о­наль­но вре­ме­ни t. Они пол­но­стью об­ра­ща­ют­ся в ноль к мо­мен­ту t=\tau.

Пусть 0 мень­ше или равно t \leqslant\tau. К этому мо­мен­ту за­штри­хо­ван­ные со­про­тив­ле­ния (см. рис. 3) умень­шат­ся из-за по­гру­же­ния и ста­нут равны R левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: \tau конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка (левое) и 2R левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: \tau конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка (пра­вое). Пол­ное со­про­тив­ле­ние этой схемы со­сто­ит из двух па­рал­лель­но со­еди­нен­ных вет­вей: левая ветка со­про­тив­ле­ни­ем R плюс R левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: \tau конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = R левая круг­лая скоб­ка 2 минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: \tau конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и пра­вая ветка со­про­тив­ле­ни­ем R плюс 2R левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: \tau конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = R левая круг­лая скоб­ка 3 минус дробь: чис­ли­тель: 2t, зна­ме­на­тель: \tau конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Вы­чис­лив па­рал­лель­ное со­про­тив­ле­ние такой схемы и раз­де­лив на него по­дан­ное на си­сте­му на­пря­же­ние, по­лу­чим:

I левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: U левая круг­лая скоб­ка 5 минус дробь: чис­ли­тель: 3 t, зна­ме­на­тель: \tau конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: R_0 левая круг­лая скоб­ка 2 минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: \tau конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3 минус дробь: чис­ли­тель: 2 t, зна­ме­на­тель: \tau конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Если же \tau мень­ше или равно t мень­ше или равно 2\tau, со­про­тив­ле­ние за­штри­хо­ван­ных со­про­тив­ле­ний успе­ло об­ра­тит­ся в ноль (к мо­мен­ту \tau), а остав­ши­е­ся со­про­тив­ле­ния (см рис. 4) убы­ва­ют каж­дое про­пор­ци­о­наль­но про­ме­жут­ку вре­ме­ни t минус \tau по за­ко­ну R левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: t минус \tau, зна­ме­на­тель: \tau конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Так как они оди­на­ко­вы и со­еди­не­ны па­рал­лель­но, пол­ное со­про­тив­ле­ние схемы в два раза мень­ше, и ответ при­об­ретёт вид:

I левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 U, зна­ме­на­тель: R_0 конец дроби дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: t минус \tau, зна­ме­на­тель: \tau конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

 

Ответ: при 0 мень­ше или равно t\leqslant\tau : \quad I левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: U левая круг­лая скоб­ка 5 минус дробь: чис­ли­тель: 3 t, зна­ме­на­тель: \tau конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: R_0 левая круг­лая скоб­ка 2 минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: \tau конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3 минус дробь: чис­ли­тель: 2 t, зна­ме­на­тель: \tau конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби ;  при \tau мень­ше или равно t мень­ше или равно 2\tau : \quad I левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 U, зна­ме­на­тель: R_0 конец дроби дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: t минус \tau, зна­ме­на­тель: \tau конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Классификатор: Элек­тро­ди­на­ми­ка. За­ко­ны Ома для участ­ка цепи и для пол­ной цепи