Герасим взял плотную прямоугольную дощечку и вбил в неё гвозди a, b, c, d, e. Гвозди a, b, c вбиты в середины сторон, гвозди d, e — в углы дощечки. К гвоздям Герасим прикрепил шесть кусков проволоки, как показано на рисунке. Затем он стал медленно и равномерно опускать дощечку в проводящую жидкость, приложив разность потенциалов U между гвоздём a и жидкостью. Дощечка всё время расположена в вертикальной плоскости, отрезок de горизонтален. Схема погрузилась в жидкость целиком за время Найдите зависимость полного тока в цепи от времени t, прошедшего с начала погружения. Сопротивление каждого куска проволоки указано на рисунке (величина R известна). Проволока не покрыта изоляцией, каждый из её кусков имеет постоянную толщину. Сопротивление жидкости и гвоздей пренебрежимо мало. Дощечка не проводит ток.
По условию задачи точки d и e погрузятся в жидкость одновременно. До этого момента ток в цепи нулевой (цепь не замкнута). В момент погружения точек d и e их потенциал совпадает с потенциалом жидкости. Поэтому можно нарисовать эквивалентную схему, где эти точки объединены в одну, и упростить её (см. рис. 1, 2).
По мере дальнейшего погружения по части схемы, оказавшейся в жидкости, не течет ток, так как все точки жидкости по условию эквипотенциальны. Поэтому сопротивления, расположенные внизу, уменьшаются равномерно пропорционально времени t. Они полностью обращаются в ноль к моменту
Пусть К этому моменту заштрихованные сопротивления (см. рис. 3) уменьшатся из-за погружения и станут равны (левое) и (правое). Полное сопротивление этой схемы состоит из двух параллельно соединенных ветвей: левая ветка сопротивлением и правая ветка сопротивлением Вычислив параллельное сопротивление такой схемы и разделив на него поданное на систему напряжение, получим:
Если же сопротивление заштрихованных сопротивлений успело обратится в ноль (к моменту ), а оставшиеся сопротивления (см рис. 4) убывают каждое пропорционально промежутку времени по закону Так как они одинаковы и соединены параллельно, полное сопротивление схемы в два раза меньше, и ответ приобретёт вид:
Ответ: при при