Обо­зна­чим: S  — пло­щадь порш­ня, V  — объём под порш­нем в дан­ный мо­мент, N  — число мо­ле­кул, вы­тек­ших из бал­ло­на к дан­но­му мо­мен­ту, n  =  N/V  — кон­цен­тра­ция газа под порш­нем в дан­ный мо­мент. Также будем ис­поль­зо­вать k  — по­сто­ян­ную Больц­ма­на и N_a  — по­сто­ян­ную Аво­га­д­ро.

Пер­во­на­чаль­но тем­пе­ра­ту­ра в си­сте­ме равна T₀. Дав­ле­ние порш­ня на газ по­сто­ян­но и равно С дру­гой сто­ро­ны, дав­ле­ние иде­аль­но­го газа под­чи­ня­ет­ся урав­не­нию p  =  nkT₀. Газ по­сте­пен­но вы­те­ка­ет из бал­ло­на и число его мо­ле­кул под порш­нем N воз­рас­та­ет, но кон­цен­тра­ция n при этом по­сто­ян­на (за счёт того, что растёт V ) и равна фик­си­ро­ван­но­му зна­че­нию

В пер­вый раз предо­хра­ни­тель сра­ба­ты­ва­ет, когда число мо­ле­кул под порш­нем ста­но­вит­ся равно пер­во­му по­ро­го­во­му зна­че­нию N₁, при ко­то­ром газ с най­ден­ной кон­цен­тра­ци­ей n₀ за­пол­нит всё хра­ни­ли­ще объёма SH:

Как толь­ко это про­изойдёт, тем­пе­ра­ту­ра в хра­ни­ли­ще умень­шит­ся до но дав­ле­ние порш­ня p оста­нет­ся тем же, причём По­это­му после осты­ва­ния кон­цен­тра­ция газа n, при ко­то­рой пор­шень с ним в рав­но­ве­сии, ста­нет равна новой фик­си­ро­ван­ной ве­ли­чи­не

При сра­ба­ты­ва­нии предо­хра­ни­те­ля пор­шень, оче­вид­но, опу­стит­ся. По мере даль­ней­ше­го вы­те­ка­ния газа пор­шень снова ста­нет под­ни­мать­ся. Предо­хра­ни­тель снова сра­бо­та­ет, когда газ с новой кон­цен­тра­ци­ей n₁ за­пол­нит всё хра­ни­ли­ще, а число мо­ле­кул под порш­нем ока­жет­ся рав­ным сле­ду­ю­ще­му по­ро­го­во­му зна­че­нию N₂:

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, по­лу­чим, что предо­хра­ни­тель сра­ба­ты­ва­ет, когда число мо­ле­кул газа под порш­нем равно где z  — целое число, по­ка­зы­ва­ю­щее, сколь­ко раз сра­бо­тал предо­хра­ни­тель. В конце весь газ вы­те­чет из бал­ло­на под пор­шень, то есть число мо­ле­кул газа там ока­жет­ся рав­ным Это про­изойдёт после ка­ко­го-то числа z сра­ба­ты­ва­ний предо­хра­ни­те­ля:

Пе­ре­пи­сы­вая двой­ное не­ра­вен­ство от­но­си­тель­но z и учи­ты­вая, что kN_a  =  R, по­лу­чим

Под­став­ляя чис­лен­ные зна­че­ния (уни­вер­саль­ная га­зо­вая по­сто­ян­ная, как из­вест­но, равна R  =  8,31), по­лу­чим от­ку­да де­ла­ем вывод, что предо­хра­ни­тель сра­бо­та­ет 183 раза. Ко­неч­ная тем­пе­ра­ту­ра при этом ока­жет­ся рав­ной T_к  =  300 − 183  =  117 K. От­сю­да по урав­не­нию Кла­пей­ро­на-Мен­де­ле­е­ва вы­ра­жа­ет­ся ко­неч­ный объём си­сте­мы и вы­со­та порш­ня в этот мо­мент:

Ответ: предо­хра­ни­тель сра­бо­та­ет 183 раза, пор­шень оста­но­вит­ся на вы­со­те 9,92 м.