Исследовательская станция вышла на круговую орбиту Марса радиусом R. С какой скоростью нужно выбросить спускаемый модуль с марсоходом по касательной к траектории станции, чтобы он совершил посадку с противоположной стороны планеты от текущего положения станции, затратив на это минимальное время? Определите это время. Радиус Марса 
ускорение свободного падения 
Условием посадки на поверхность считать только касание зондом поверхности Марса, скорость относительно поверхности планеты в точке касания погасится за счет трения.
Спускаемый модуль, выброшенный со станции, должен двигаться по эллиптической орбите, касающейся поверхности Марса. Большая ось этой орбиты равна 
где R и 
радиус орбиты станции и радиус Марса соответственно. Потенциальная энергия в точках А и В (афелии и перигелии этой орбиты соответственно) может быть записана следующим образом:
и m массы Марса и спускаемого модуля соответственно. Закон сохранения энергии будет выглядеть следующим образом: 
и 
скорости в точках A и B соответственно. Учитывая, что 
получаем:
В то же время, согласно второму закону Кеплера радиус вектор заметает равные площади за одинаковые промежутки времени:
или 
Теперь найдем 
— скорость станции на круговой орбите:
Итого, спускаемый модуль нужно выбросить назад со скоростью
Время спуска оценим из третьего закона Кеплера: квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит. Обозначим период обращения тела по круговой орбите как 
искомый период как T, тогда:
Соответственно, искомое время составляет 
Ответ: 