Глав­ным пред­по­ло­же­ни­ем воз­мож­но­сти рас­про­стра­не­ния света по вол­но­во­ду долж­но стать на­ли­чие пол­но­го внут­рен­не­го от­ра­же­ния для луча света, спо­соб­но­го дви­гать­ся «вдоль» вол­но­во­да по­сто­ян­но пе­реот­ра­жа­ясь от его сте­нок. Для этого угол па­де­ния света на стен­ку дол­жен быть боль­ше пре­дель­но­го.

При рас­смот­ре­нии всех воз­мож­ных лучей, па­да­ю­щих на тор­це­вую стен­ку вол­но­во­да перед вы­хо­дом из него, убеж­да­ем­ся в том, что мак­си­маль­ный ра­ди­ус пятна даст луч, па­да­ю­щий на тор­це­вую гра­ни­цу в самой близи от бо­ко­вой гра­ни­цы и при этом На­при­мер, такой, как по­ка­зан на ри­сун­ке. Любые лучи, ко­то­рые могли бы выйти не через торец, а через бо­ко­вую стен­ку не рас­смат­ри­ва­ем, т. к. они по вол­но­во­ду не рас­про­стра­ня­ют­ся, а по­ки­да­ют его (на­при­мер, на­прав­ле­ние X). При этом пом­ним, что т. к. то угол пре­лом­ле­ния будет боль­ше угла па­де­ния что в том числе и даёт мак­си­маль­ный раз­мер пятна. За­пи­шем закон пол­но­го внут­рен­не­го от­ра­же­ния для т. О:

Дру­гое усло­вие яв­ля­ет­ся тре­бо­ва­ни­ем того, чтобы лучи всё же при этом смог­ли выйти из торца вол­но­во­да, пре­ло­мив­шись в точке R: От­сю­да, учи­ты­вая что и по­лу­ча­ем вто­рое От­сю­да, учи­ты­вая что и по­лу­ча­ем вто­рое усло­вие на углы:

В ре­зуль­та­те:

Что даёт нам ми­ни­маль­но воз­мож­ный угол, при ко­то­ром воз­мо­жен выход света из вол­но­во­да Воз­во­дя все части не­ра­вен­ства в квад­рат и про­де­лав не­об­хо­ди­мые пре­об­ра­зо­ва­ния, по­лу­ча­ем, что:

С дру­гой сто­ро­ны из тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го точ­кой R, лучом и экра­ном:

Тогда для пре­дель­но­го угла по­лу­ча­ем:

Видим, что для по­лу­че­ния дей­стви­тель­ных зна­че­ний по­ка­за­тель пре­лом­ле­ния вол­но­во­да не дол­жен быть мень­ше чем что для стек­ла с вы­пол­ня­ет­ся. При что для ре­аль­но­го стек­ла не­воз­мож­но, сле­до­ва­тель­но, мак­си­маль­ный ра­ди­ус пятна ко­не­чен.

Ответ: