Зна­че­ния пе­ре­мен­ных после пе­ре­ре­за­ния нити будем обо­зна­чать штри­хом.

Для об­ще­го объёма си­сте­мы (вода  — по­гружённая часть шара  — груз) имеем:

от­ку­да, вы­чи­тая вто­рое из пер­во­го, имеем:

Массы шара и груза по усло­вию равны За­пи­шем усло­вия пла­ва­ния для шара до и после пе­ре­ре­за­ния нити:

Для пла­ва­ния груза имеем:

Вы­чи­тая из (4) (6) по­лу­ча­ем: Вы­ра­жая силу Ар­хи­ме­да через объём, по­лу­ча­ем: С дру­гой сто­ро­ны, скла­ды­вая (4) и (6), по­лу­ча­ем: Тогда: от­ку­да, по­де­лив обе части на имеем:

По усло­вию дано, что от­ку­да, при­ни­мая во вни­ма­ние ра­вен­ство масс шара и груза, по­лу­ча­ем: Остаётся найти связь объёма ша­ро­во­го сег­мен­та с объёмом шара Объём ша­ро­во­го сег­мен­та *) равен

Зная, что по­лу­ча­ем:

Зная, что объём шара по­лу­ча­ем:

где

Под­став­ляя (10) и (9) в (8) по­лу­ча­ем:

Ответ:

*) Фор­му­ла для объёма ша­ро­во­го сег­мен­та вы­во­дит­ся в школь­ных учеб­ни­ках гео­мет­рии, ис­хо­дя из сле­ду­ю­щих со­об­ра­же­ний. Пусть ра­ди­ус шара равен R, а ра­ди­ус се­че­ния в толще сег­мен­та  — r. Вы­со­та сег­мен­та h. Тогда пло­щадь тон­ко­го слоя сег­мен­та а его объём где dx  — тол­щи­на слоя. Вы­ра­жая r через x и R по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка где x  — рас­сто­я­ние от цен­тра шара до тон­ко­го слоя, имеем про­ин­те­гри­ру­ем вдоль вы­со­ты в пре­де­лах от вы­со­ты ос­но­ва­ния (R–h) до вер­ши­ны (R) ша­ро­во­го сег­мен­та. По­лу­ча­ем:

До­ба­вим, что по­лу­чен­ная фор­му­ла вы­ве­де­на в пред­по­ло­же­нии а в ре­ше­нии при­ме­не­на для До­ка­жи­те са­мо­сто­я­тель­но спра­вед­ли­вость фор­му­лы при