РЕШУ ОЛИМП, физика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2417 Добавить в вариант

Мальчик стоит на краю высокой горки и бросает вертикально вверх камушки. Какой наименьший путь может пролететь камушек за первую секунду своего движения? Ускорение свободного падения равно $10м/с в квадрате .$ Ответ дайте в метрах.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим через $v _0$ начальную скорость камушка. Уравнения движения камушка:

$\beginaligned y левая круглая скобка t правая круглая скобка = v _0 t минус дробь: числитель: g t в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби , v _y левая круглая скобка t правая круглая скобка = v _0 минус g t. \endaligned$

Следует рассмотреть две возможные траектории движения камня.

I. Камень за первую секунду не успевает достичь максимальной высоты, в этом случае $v _y левая круглая скобка \tau правая круглая скобка больше 0.$ Тогда

$\beginaligned S= v _0 \tau минус дробь: числитель: g \tau в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби , \Rightarrow v _0= дробь: числитель: S, знаменатель: \tau конец дроби плюс дробь: числитель: g \tau, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 10 умножить на 1, знаменатель: 2 конец дроби =7м/с. \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка v _y левая круглая скобка \tau правая круглая скобка = v _0 минус g \tau= дробь: числитель: S, знаменатель: \tau конец дроби минус дробь: числитель: g \tau, знаменатель: 2 конец дроби =7 минус 10 умножить на 1= минус 3м/с меньше 0. \endaligned$

Это означает, что камень поворачивает за время $\tau=1с.$ Вообще траектория I возможна, если

$\quad v _y левая круглая скобка \tau правая круглая скобка = дробь: числитель: S, знаменатель: \tau конец дроби минус дробь: числитель: g \tau, знаменатель: 2 конец дроби больше 0, \Rightarrow$ $S больше дробь: числитель: g \tau в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби =5м/с.$

II. Камень поворачивает в течение первой секунды. Обозначим $t_1$   — время, через которое он достигнет максимальной высоты.

$v _y левая круглая скобка t_1 правая круглая скобка =0,$ $\Rightarrow$ $v _0 минус g t_1=0,$ $\Rightarrow$ $t_1= дробь: числитель: v _0, знаменатель: g конец дроби меньше \tau,$ $y_\max =y левая круглая скобка t_1 правая круглая скобка = дробь: числитель: v _0 в квадрате , знаменатель: 2 g конец дроби .$

Тогда

$S=y_\max плюс левая круглая скобка y_\max минус y левая круглая скобка \tau правая круглая скобка правая круглая скобка =2 y_\max минус y левая круглая скобка \tau правая круглая скобка .$

Получим следующее уравнения для нахождения $v_0:$

$S= дробь: числитель: v _0 в квадрате , знаменатель: g конец дроби минус v _0 \tau плюс дробь: числитель: g \tau в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $\Rightarrow$ $дробь: числитель: v _0 в квадрате , знаменатель: g конец дроби минус \tau умножить на v _0 плюс левая круглая скобка дробь: числитель: g \tau в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби минус S правая круглая скобка =0 . \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

Квадратное уравнение (2) имеет решение если

$D= дробь: числитель: 4 S, знаменатель: g конец дроби минус \tau в квадрате больше или равно 0.$ $\Rightarrow$ $S больше или равно дробь: числитель: g \tau в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби$ $\Rightarrow$ $S_\min = дробь: числитель: g \tau в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 10 умножить на 1, знаменатель: 4 конец дроби =2,5м.$

Ответ: 2,5.

Олимпиада Газпром, 9 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Механика. Баллистическое движение

Спрятать решение · Помощь