Сила, дей­ству­ю­щая на шарик, равна раз­но­сти его веса и силы Ар­хи­ме­да, где   — плот­ность изо­тер­ми­че­ско­го воз­ду­ха на вы­со­те h, а V  — тек­щий объем ша­ри­ка, M_He  — масса гелия в ша­ри­ке, m  — масса его обо­лоч­ки. Сна­ча­ла счи­та­ем, что шарик не из­ме­ня­ет сво­е­го объёма в про­цес­се под­ня­тия, так что V  =  V₀. Когда шарик на­хо­дил­ся у по­верх­но­сти Земли, урав­не­ние (1) сво­дит­ся к Снова воз­вра­тим­ся к (1), за­пи­сав его для мак­си­маль­ной вы­со­ты H, ко­то­рая опре­де­ля­ет­ся усло­ви­ем ра­вен­ства нулю дей­ству­ю­щей на него пол­ной силы F:

Те­перь учтём то, что шарик рас­ши­ря­ет­ся, по­сколь­ку на вы­со­те дав­ле­ние ат­мо­сфе­ры па­да­ет. По­сколь­ку ат­мо­сфе­ра пред­по­ла­га­ет­ся изо­тер­ми­че­ской, объём ша­ри­ка V и дав­ле­ние внут­ри него P_in свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем

Вос­поль­зо­вав­шись тем, что раз­ность дав­ле­ний сна­ру­жи ша­ри­ка и внут­ри него по­сто­ян­на, по­лу­ча­ем, что

По­это­му силу (1), дей­ству­ю­щую на шарик, можно вы­ра­зить через при­ра­ще­ние объёма :

Шарик пре­кра­тит под­ни­мать­ся, когда дей­ству­ю­щая на него сила будет равна нулю, F  =  0, то есть когда его объём воз­растёт на

Те­перь надо из­ме­не­ние объёма свя­зать с из­ме­не­ни­ем дав­ле­ния, ко­то­рое в свою оче­редь даст вы­со­ту. Из­ме­не­ния внут­рен­не­го дав­ле­ния и объёма свя­за­ны между собой со­от­но­ше­ни­я­ми

где и   — мо­ляр­ные массы воз­ду­ха и гелия. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что вы­со­та

По­лу­чен­ный нами ответ (5) по­ка­зы­ва­ет, что рас­ши­ре­ние ша­ри­ка зна­чи­тель­но по­вы­ша­ет вы­со­ту H (в нашем слу­чае с 230 м до 2000 м). Для обыч­ных ша­ри­ков она ока­зы­ва­ет­ся рав­ной не­сколь­ким де­сят­кам ки­ло­мет­ров, при этом ла­текс­ный шарик уве­ли­чи­ва­ет свой объём в 10 и более раз (а ре­зи­но­вый это сде­лать не может и ло­па­ет­ся).

Ответ: 1) 2)