сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 260
i

Одна пла­сти­на кон­ден­са­то­ра жёстко за­креп­ле­на, а дру­гая удар­жи­ва­ет­ся пру­жи­ной жёстко­сти k. Пло­щадь пла­стин равна S, рас­сто­я­ние между пла­сти­на­ми в со­сто­я­нии рав­но­ве­сия и раз­ря­жен­но­сти кон­ден­са­то­ра равно d.

1.  Опре­де­ли­те мак­си­маль­ный до­пу­сти­мый заряд на кон­ден­са­то­ре.

2.  Пусть заряд на кон­ден­са­то­ре равен Q. В не­ко­то­рый мо­мент его под­со­еди­ня­ют к ре­зи­сто­ру со­про­тив­ле­ни­ем R и ждут, пока по­движ­ная пла­сти­на кон­ден­са­то­ра оста­но­вит­ся. Чему будет равно тепло, вы­де­лив­ше­е­ся на ре­зи­сто­ре?

3.  Най­ди­те за­ви­си­мость на­пря­же­ния на кон­ден­са­то­ре от за­ря­да его пла­стин. Чему равно мак­си­маль­но воз­мож­ное на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре?

Ди­элек­три­че­ская про­ни­ца­е­мость ва­ку­у­ма  эп­си­лон _0=8,9 умно­жить на 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 12 пра­вая круг­лая скоб­ка  Ф/м.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим через x те­ку­щее от­кло­не­ние пру­жи­ны, так что рас­сто­я­ние между пла­сти­на­ми равно d − x. Пусть те­ку­щий заряд кон­ден­са­то­ра равен Q. Элек­три­че­ская сила (сила Ку­ло­на), дей­ству­ю­щая на по­движ­ную пла­сти­ну со сто­ро­ны не­по­движ­ной, равна

F= дробь: чис­ли­тель: Q в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 эп­си­лон _0 S конец дроби .

По­это­му ве­ли­чи­на сме­ще­ния по­движ­ной пла­сти­ны равна x= дробь: чис­ли­тель: F, зна­ме­на­тель: k конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Q в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 эп­си­лон _0 S k конец дроби . Мак­си­маль­ное сме­ще­ние не может пре­вы­шать ис­ход­но­го рас­сто­я­ния между пла­сти­на­ми d, по­это­му мак­си­маль­но воз­мож­ный заряд Q_max= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2d эп­си­лон _0 Sk конец ар­гу­мен­та .

Тепло, ко­то­рое вы­де­лит­ся на ре­зи­сто­ре, если за­мкнуть пра­вый ключ, равно сумме запасённых энер­гий: энер­гии элек­три­че­ско­го поля между пла­сти­на­ми кон­ден­са­то­ра и упру­гой энер­гии рас­тя­же­ния пру­жи­ны:

E_t o t=E_E плюс E_k= дробь: чис­ли­тель: Q в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 C конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: k x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Q в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 \varepsilon_0 S конец дроби левая круг­лая скоб­ка d минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: k x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Q в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: \varepsilon_0 S конец дроби дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Q в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: \varepsilon_0 S конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 k конец дроби .

По­сколь­ку те­ку­щая ёмкость кон­ден­са­то­ра C= эп­си­лон _0 S/ левая круг­лая скоб­ка d минус x пра­вая круг­лая скоб­ка . На­пря­же­ние на об­клад­ках кон­ден­са­то­ра опре­де­ля­ет ра­бо­ту, ко­то­рую нужно со­вер­шить, чтобы уве­ли­чить запасённую энер­гию в си­сте­ме на ве­ли­чи­ну \Delta E_tot, из­ме­нив при этом заряд на об­клад­ках кон­ден­са­то­ра на \Delta Q:

U= дробь: чис­ли­тель: \Delta E_t o t, зна­ме­на­тель: \Delta Q конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Q d, зна­ме­на­тель: \varepsilon_0 S конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Q в кубе , зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка \varepsilon_0 S пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те k конец дроби .

Этот же ответ, ра­зу­ме­ет­ся, можно по­лу­чить и не­по­сред­ствен­но, вы­чис­ляя раз­ность по­тен­ци­а­лов между пла­сти­на­ми. Поле между пла­сти­на­ми равно E=Q/ эп­си­лон _0 S, по­это­му U  =  (d − x) · E. Таким об­ра­зом, на­пря­же­ние сна­ча­ла воз­рас­та­ет с ро­стом за­ря­да, а затем па­да­ет до нуля при до­сти­же­нии мак­си­маль­но воз­мож­но­го за­ря­да. Мак­си­мум на­пря­же­ния равен

U_max= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 8 k d в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 27 \varepsilon_0 пра­вая круг­лая скоб­ка S конец дроби ,  до­сти­га­ет­ся при  Q в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2 \varepsilon_0 конец ар­гу­мен­та S k d, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ: 1) Q_max= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2d эп­си­лон _0 Sk конец ар­гу­мен­та ; 2) E_t o t= дробь: чис­ли­тель: Q в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: \varepsilon_0 S конец дроби дробь: чис­ли­тель: d, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Q в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: \varepsilon_0 S конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 k конец дроби ; 3) U_max= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 8 k d в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 27 \varepsilon_0 пра­вая круг­лая скоб­ка S конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии по за­да­ниюБаллы
За­пи­са­но вы­ра­же­ние для ёмко­сти кон­ден­са­то­ра в за­ви­си­мо­сти от его гео­мет­ри­че­ских ха­рак­те­ри­стик1
Най­ден до­пу­сти­мый мак­си­маль­ный заряд на кон­ден­са­то­ре4
Най­де­но вы­де­лив­ше­е­ся тепло на ре­зи­сто­ре8
Най­де­на за­ви­си­мость на­пря­же­ния на ре­зи­сто­ре от за­ря­да 5
Най­де­но мак­си­маль­но воз­мож­ное на­пря­же­ние на кон­ден­са­то­ре2
Классификатор: Элек­тро­ди­на­ми­ка. Плос­кий кон­ден­са­тор