РЕШУ ОЛИМП, физика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 2709 Добавить в вариант

В цилиндрический вертикальный сосуд высотой 2Н и площадью сечения S, разделенного пополам невесомым тонким подвижным поршнем медленно наливают жидкость с плотностью p. Какой объем будет у воздуха под поршнем при максимально возможном уровне жидкости, налитом в сосуд? Жидкость под поршень не проникает, внешнее атмосферное давление равно p₀.

Спрятать решение

Решение.

Процесс происходит без изменения температуры (так как медленно). Тогда $p V=const$ и $T=const.$ Приравняем произведения начального давления и начального объема воздуха к конечным значениям давления и объема той же массы воздуха под поршнем:

$p_1 V_1=p_2 V_2,$ $p_1=p_0,$ $V_1=HS.$

Конечное давление под слоем жидкости высотой h: $p_2=p_0 плюс \rho g h.$ Соответствующий объем воздуха после наливания жидкости до краев сосуда: $V_2= левая круглая скобка 2 H минус h правая круглая скобка S,$ где $x=2 H минус h.$

Подставим все значения в закон Бойля-Мариотта:

$p_0 H S= левая круглая скобка p_0 плюс \rho g h правая круглая скобка левая круглая скобка 2 H минус h правая круглая скобка S \Rightarrow p_0 H=2 p_0 H минус p_0 H плюс \rho g h 2 H минус \rho g h в квадрате \Rightarrow$
$\Rightarrow \rho g h в квадрате плюс h левая круглая скобка p_0 минус \rho g 2 H правая круглая скобка минус p_0 H=0.$ $p_0 H S= левая круглая скобка p_0 плюс \rho g h правая круглая скобка левая круглая скобка 2 H минус h правая круглая скобка S \Rightarrow$
$\Rightarrow p_0 H=2 p_0 H минус p_0 H плюс \rho g h 2 H минус \rho g h в квадрате \Rightarrow$
$\Rightarrow \rho g h в квадрате плюс h левая круглая скобка p_0 минус \rho g 2 H правая круглая скобка минус p_0 H=0.$

Дискриминант данного квадратного уравнения:

$D= левая круглая скобка p_0 минус \rho g 2 H правая круглая скобка в квадрате плюс 4 \rho g p_0 H=p_0 в квадрате минус 4 p_0 \rho g H плюс \rho в квадрате g в квадрате 4 H в квадрате плюс 4 p_0 \rho g H=p_0 в квадрате плюс \rho в квадрате g в квадрате 4 H в квадрате .$ $D= левая круглая скобка p_0 минус \rho g 2 H правая круглая скобка в квадрате плюс 4 \rho g p_0 H=$
$=p_0 в квадрате минус 4 p_0 \rho g H плюс \rho в квадрате g в квадрате 4 H в квадрате плюс 4 p_0 \rho g H=p_0 в квадрате плюс \rho в квадрате g в квадрате 4 H в квадрате .$ $D= левая круглая скобка p_0 минус \rho g 2 H правая круглая скобка в квадрате плюс 4 \rho g p_0 H=$
$=p_0 в квадрате минус 4 p_0 \rho g H плюс \rho в квадрате g в квадрате 4 H в квадрате плюс 4 p_0 \rho g H=$
$=p_0 в квадрате плюс \rho в квадрате g в квадрате 4 H в квадрате .$

И корни квадратного уравнения:

$h= дробь: числитель: \rho g 2 H минус p_0 \pm корень из: начало аргумента: p_0 конец аргумента в квадрате плюс \rho в квадрате g в квадрате 4 H в квадрате , знаменатель: 2 \rho g конец дроби . \endgathered$

Решением будет только корень с «+», так как отрицательное значение высоты нам не подходит. Подставим это значение в объем:

$V_2=S x=S левая круглая скобка 2 H минус дробь: числитель: \rho g 2 H минус p_0 плюс корень из: начало аргумента: p_0 конец аргумента в квадрате плюс \rho в квадрате g в квадрате 4 H в квадрате , знаменатель: 2 \rho g конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: $V_2=S левая круглая скобка 2 H минус дробь: числитель: \rho g 2 H минус p_0 плюс корень из: начало аргумента: p_0 конец аргумента в квадрате плюс \rho в квадрате g в квадрате 4 H в квадрате , знаменатель: 2 \rho g конец дроби правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Баллы
Указано, что процесс проходит без температуры	2
Приравнены произведения начального давления и начального объема воздуха к конечным значениям давления и объема той же массы воздуха под поршнем	2
Найдено конечное давление под слоем жидкости высотой h	2
Найден соответствующий объем воздуха после наливания жидкости до краев сосуда	2
Все значения подставлены в закон Бойля-Мариотта	4
Найден дискриминант полученного квадратного уравнения	2
Найдены корни данного квадратного уравнения	2
Получен правильный ответ	4
Максимальный балл	20

Открытая олимпиада вузов Томской области, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: МКТ и термодинамика. Изопроцессы

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь