сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 2724
i

Дей­трон пред­став­ля­ет собой про­стей­шее ядро, со­сто­я­щее из про­то­на и ней­тро­на. Пусть в ре­зуль­та­те не­упру­го­го столк­но­ве­ния α-ча­сти­цы с не­по­движ­ным дей­тро­ном α-ча­сти­ца про­дол­жа­ет дви­гать­ся в преж­нем на­прав­ле­нии, а про­тон и ней­трон, вхо­див­шие в со­став дей­тро­на, раз­ле­та­ют­ся сим­мет­рич­но от­но­си­тель­но этого на­прав­ле­ния под углом к нему (каж­дая ча­сти­ца  — про­тон и ней­трон  — дви­жет­ся под углом к на­прав­ле­нию дви­же­ния α-ча­сти­цы). Най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ное зна­че­ние угла, сов­ме­сти­мое с за­ко­на­ми со­хра­не­ния энер­гии и им­пуль­са. Из­вест­но от­но­ше­ние x на­чаль­ной ки­не­ти­че­ской энер­гии K α-ча­сти­цы к энер­гии связи дей­тро­на E : x = дробь: чис­ли­тель: K, зна­ме­на­тель: E конец дроби =4 (энер­гия связи  — это ми­ни­маль­ная энер­гия, ко­то­рую не­об­хо­ди­мо за­тра­тить для того, чтобы раз­ру­шить дей­трон и вы­сво­бо­дить про­тон и ней­трон). Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах и округ­ли­те до це­ло­го зна­че­ния. Счи­тай­те, что масса α-ча­сти­цы в 4 раза боль­ше массы про­то­на, а массы про­то­на и ней­тро­на оди­на­ко­вы.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

На ри­сун­ке бук­ва­ми  альфа ,d,p и n обо­зна­че­ны  альфа -ча­сти­ца, дей­трон, про­тон и ней­трон. Пусть \overrightarrowP_0 и \overrightarrowP_1  — на­чаль­ный и ко­неч­ный им­пуль­сы  альфа -ча­сти­цы, \overrightarrowP_2 и \overrightarrowP_3  — им­пуль­сы про­то­на и ней­тро­на. Массу про­то­на обо­зна­чим через m; масса  альфа -ча­сти­цы равна 4 m. За­пи­шем закон со­хра­не­ния им­пуль­са:

 \overrightarrowP_0=\overrightarrowP_1 плюс \overrightarrowP_2 плюс \overrightarrowP_3.

На­пра­вим ось x не­по­движ­ной си­сте­мы ко­ор­ди­нат вдоль век­то­ра \vecP_0, ось y минус в пер­пен­ди­ку­ляр­ном на­прав­ле­нии. В про­ек­ци­ях на оси имеем:

P_2 синус бета =P_3 синус бета arrow P_2=P_3, P_0=P_1 плюс P_2 ко­си­нус бета плюс P_3 ко­си­нус бета =P_1 плюс 2 P_2 ко­си­нус бета \quad arrow \quad P_1=P_0 минус 2 P_2 ко­си­нус бета .

Так как P_1 мень­ше P_0, из по­след­не­го со­от­но­ше­ния сле­ду­ет, что  ко­си­нус бета боль­ше 0. Далее вос­поль­зу­ем­ся за­ко­ном со­хра­не­ния энер­гии:

 дробь: чис­ли­тель: P_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 8 m конец дроби = дробь: чис­ли­тель: P_1 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 8 m конец дроби плюс 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: P_2 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 m конец дроби плюс E \quad arrow \quad P_0 в квад­ра­те =P_1 в квад­ра­те плюс 8 P_2 в квад­ра­те плюс 8 m E.

Под­став­ляя сюда вы­ра­же­ние для P_1, по­лу­ча­ем квад­рат­ное урав­не­ние для им­пуль­са P_2:

P_0 в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка P_0 минус 2 P_2 ко­си­нус бета пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 8 P_2 в квад­ра­те плюс 8 m E, P_0 в квад­ра­те = P_0 в квад­ра­те минус 4 P_0 P_2 ко­си­нус бета плюс 4 P_2 в квад­ра­те ко­си­нус в квад­ра­те бета плюс 8 P_2 в квад­ра­те плюс 8 m E,  левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­си­нус в квад­ра­те бета пра­вая круг­лая скоб­ка P_2 в квад­ра­те минус P_0 ко­си­нус бета P_2 плюс 2 m E=0.

Дис­кри­ми­нант урав­не­ния равен:

 D=P_0 в квад­ра­те ко­си­нус в квад­ра­те бета минус 4 левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­си­нус в квад­ра­те бета пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2 m E.

Пе­ре­пи­шем это вы­ра­же­ние через от­но­ше­ние x:

 x= дробь: чис­ли­тель: K, зна­ме­на­тель: E конец дроби = дробь: чис­ли­тель: P_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 8 m E конец дроби \quad arrow \quad D=8 m E левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те бета минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Из усло­вия су­ще­ство­ва­ния дей­стви­тель­ных кор­ней урав­не­ния по­лу­ча­ем огра­ни­че­ние на угол  бета :

 D боль­ше или равно 0 \quad arrow \quad левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те бета минус 2 боль­ше или равно 0 \quad arrow \quad ко­си­нус в квад­ра­те бета боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби .

Так как  ко­си­нус бета боль­ше 0, то:

 ко­си­нус бета боль­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби конец ар­гу­мен­та arrow бета мень­ше или равно арк­ко­си­нус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

Мак­си­маль­ное зна­че­ние  бета равно:

 бета = арк­ко­си­нус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби конец ар­гу­мен­та .

При x=4 по­лу­ча­ем:

 бета = арк­ко­си­нус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та =35 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ответ:  бета = арк­ко­си­нус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби конец ар­гу­мен­та =35 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

Классификатор: Ме­ха­ни­ка. Упру­гие вза­и­мо­дей­ствия