Пусть имеется пушка на поверхности земли, которая может выпускать снаряд со скоростью υ0 под любым углом к горизонту. Определите границу «простреливаемой» области: получите уравнение кривой, которая разделяет вертикальную плоскость на точки, достижимые для попадания снарядом, и на те, в которые снаряд не попадет ни в каком случае. Ускорение свободного падения равно g, сопротивлением воздуха пренебречь.
Рассмотрим снаряд, выпущенный под произвольным углом α к горизонту.
Его траектория будет описываться уравнением
Рассмотрим это уравнение относительно переменной 
и параметров (x, y):
Решением такого уравнения будет значение угла α, под которым надо выстрелить, чтобы попасть в точку с заданными координатами (x, y). Заметим, что данное уравнение является квадратным, соответственно имеются три случая:
1) Уравнение имеет два корня, значит, в точку можно попасть снарядом двумя способами;
2) Уравнение имеет один корень, в точку можно попасть единственным способом;
3) Уравнение не имеет корней, точка недостижима для попадания снарядом.
Можно заметить, эти три случая делят всю вертикальную плоскость на две искомые области. Второй случай соответствует границе «простреливаемой области». Для квадратного уравнения единственность решения равносильна равенству нулю его дискриминанта
Отсюда находим искомое уравнение:
Ответ: