сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 2742
i

Из тон­кой про­во­ло­ки со­гнут пря­мой угол, не­по­движ­но за­креплённый так, что одна из его сто­рон вер­ти­каль­на. По сто­ро­нам угла могут сколь­зить без тре­ния ма­лень­кие бу­син­ки 1 и 2 оди­на­ко­вой массы. Бу­син­ки со­еди­не­ны жёстким не­ве­со­мым стерж­нем длины L  =  0,75 м. При дви­же­нии стер­жень может сво­бод­но по­во­ра­чи­вать­ся во­круг точек креп­ле­ния к бу­син­кам. В на­чаль­ном по­ло­же­нии бу­син­ки не­по­движ­ны, стер­жень на­клонён к го­ри­зон­ту под углом  альфа =30 гра­ду­сов . Стер­жень с бу­син­ка­ми от­пус­ка­ют без толч­ка. Най­ди­те мак­си­маль­ную ско­рость V, до ко­то­рой раз­го­нит­ся бу­син­ка 2 при дви­же­нии бу­син­ки 1 вниз. Бу­син­ки счи­тай­те ма­те­ри­аль­ны­ми точ­ка­ми. Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния g  =  10 м/с2. Ответ вы­ра­зи­те в м/с и округ­ли­те до сотых.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим про­ме­жу­точ­ное по­ло­же­ние си­сте­мы, когда стер­жень на­клонён к го­ри­зон­ту под углом \varphi. Ско­ро­сти бу­си­нок в этом по­ло­же­нии обо­зна­чим через V1 и V2. От­счи­ты­вая вы­со­ты от вер­ши­ны угла, за­пи­шем закон со­хра­не­ния энер­гии:

 m g L синус альфа = дробь: чис­ли­тель: m V_1 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: m V_2 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс m g L синус \varphi \Rightarrow V_1 в квад­ра­те плюс V_2 в квад­ра­те =2 g L левая круг­лая скоб­ка синус альфа минус синус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка .

Здесь m  — масса бу­си­нок. Так как длина стерж­ня не ме­ня­ет­ся при дви­же­нии, то про­ек­ции ско­ро­стей на на­прав­ле­ние стерж­ня сов­па­да­ют: V_1 синус \varphi=V_2 ко­си­нус \varphi. Ис­клю­чая ско­рость V1, на­хо­дим V2 как функ­цию угла \varphi:

 V_1=V_2 \ctg \varphi \Rightarrow V_2 в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка \ctg в квад­ра­те \varphi плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 g L левая круг­лая скоб­ка синус альфа минус синус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка \Rightarrow V_2 в квад­ра­те =2 g L синус в квад­ра­те \varphi левая круг­лая скоб­ка синус альфа минус синус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка .

Угол \varphi ме­ня­ет­ся на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0, альфа пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . На кон­цах от­рез­ка ско­рость V2 об­ра­ща­ет­ся в нуль. Найдём экс­тре­му­мы V2. При­рав­ни­вая нулю первую про­из­вод­ную по \varphi, по­лу­ча­ем:

2 синус \varphi ко­си­нус \varphi синус альфа минус 3 синус в квад­ра­те \varphi ко­си­нус \varphi=0 \Rightarrow синус \varphi ко­си­нус \varphi левая круг­лая скоб­ка 2 синус альфа минус 3 синус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Мак­си­му­му со­от­вет­ству­ет ко­рень  синус \varphi= дробь: чис­ли­тель: 2 синус альфа , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Мак­си­маль­ная ско­рость вто­рой бу­син­ки равна:

V в квад­ра­те =2 g L левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 синус альфа , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка синус альфа минус дробь: чис­ли­тель: 2 синус альфа , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =g L левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 синус альфа , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе , V= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: g L конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 синус альфа , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0,53м/с.

 

Ответ:  V= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: g L конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 синус альфа , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0,53м/с.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии по за­да­ниюБаллы
Пра­виль­но за­пи­сан закон со­хра­не­ния энер­гии3
За­пи­са­но усло­вие не­рас­тя­жи­мо­сти стерж­ня2
По­лу­че­на за­ви­си­мость ско­ро­сти от угла на­кло­на2
Пра­виль­но най­ден угол на­кло­на, при ко­то­ром ско­рость мак­си­маль­на2
По­лу­чен пра­виль­ный чис­лен­ный ответ1
Классификатор: Ме­ха­ни­ка. Закон со­хра­не­ния энер­гии в конс. си­сте­мах