РЕШУ ОЛИМП, физика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2759 Добавить в вариант

В тетраэдре ABCD каждое ребро представляет собой последовательно соединённые резистор и ЭДС с произвольными значениями R_i и ε_i соответственно, где i  — номер ребра, например, 1 для ребра AB, 2  — для ребра BC и т. д. В ребро AB последовательно подсоединили ключ K, а в ребро CD  — идеальный амперметр. При каких условиях на R_i для любых значений ε_i замыкание и размыкание ключа K не приведут к изменениям показаний амперметра.

Спрятать решение

Решение.

Перерисуем тетраэдр в виде эквивалентной электрической схемы (Мост Уитстона) и пронумеруем элементы как показано на рисунке.

Запишем систему уравнений на токи и напряжения, при условии, что ключ K замкнут. Из всх возможных уравнений выберем те, которые содержат I₆, этого достаточно:

$система выражений I_3 плюс I_6 минус I_2=0, узел C; I_5 плюс I_6 минус I_4 =0, узел D; I_3 R_3 минус I_6 R_6 плюс I_5 R_5 =\mathcalE_3 минус \mathcalE_6 плюс \mathcalE_5, контур ACD; I_2 R_2 плюс I_4 R_4 плюс I_6 R_6 =\mathcalE_2 плюс \mathcalE_4 плюс \mathcalE_6, контур BCD. конец системы .$

При размыкании ключа K ток I₁ обратится в 0, что приведет к изменению других токов, но ток I₆ по условию должен остаться неизменным. Обозначим новые токи $I_2 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$ $I_3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$ $I_4 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка ,$ $I_5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка .$ Для них система уравнений будет выглядеть точно так же, просто «нештрихованные» токи заменятся «штрихованными». Сопоставив эти две системы получим:

$система выражений I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_ 2 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = I_ 3 минус I_ 2 , I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_ 4 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = I_ 5 минус I_ 4 , I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 3 плюс I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 5 = I_ 3 R_ 3 плюс I_ 5 R_ 5 , I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 3 плюс I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 5 = I_ 3 R_ 3 плюс I_ 5 R_ 5 конец системы . равносильно система выражений I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_ 2 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = I_ 3 минус I_ 2 , I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_ 4 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = I_ 5 минус I_ 4 , I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 3 плюс I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 5 = I_ 3 R_ 3 плюс I_ 5 R_ 5 , I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 3 плюс I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 5 = I_ 3 R_ 3 плюс I_ 5 R_ 5 конец системы . равносильно система выражений I_3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_3=I_2 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_2, I_5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_5=I_4 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_4, R_3 левая круглая скобка I_3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_3 правая круглая скобка =R_2 левая круглая скобка I_2 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_2 правая круглая скобка , R_5 левая круглая скобка I_5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_5 правая круглая скобка =R_4 левая круглая скобка I_4 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_4 правая круглая скобка . конец системы .$ $система выражений I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_ 2 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = I_ 3 минус I_ 2 , I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_ 4 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = I_ 5 минус I_ 4 , I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 3 плюс I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 5 = I_ 3 R_ 3 плюс I_ 5 R_ 5 , I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 3 плюс I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 5 = I_ 3 R_ 3 плюс I_ 5 R_ 5 конец системы . равносильно система выражений I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_ 2 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = I_ 3 минус I_ 2 , I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_ 4 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = I_ 5 минус I_ 4 , I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 3 плюс I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 5 = I_ 3 R_ 3 плюс I_ 5 R_ 5 , I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 3 плюс I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 5 = I_ 3 R_ 3 плюс I_ 5 R_ 5 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений I_3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_3=I_2 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_2, I_5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_5=I_4 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_4, R_3 левая круглая скобка I_3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_3 правая круглая скобка =R_2 левая круглая скобка I_2 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_2 правая круглая скобка , R_5 левая круглая скобка I_5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_5 правая круглая скобка =R_4 левая круглая скобка I_4 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_4 правая круглая скобка . конец системы .$ $система выражений I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_ 2 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = I_ 3 минус I_ 2 , I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_ 4 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = I_ 5 минус I_ 4 , I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 3 плюс I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 5 = I_ 3 R_ 3 плюс I_ 5 R_ 5 , I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 3 плюс I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 5 = I_ 3 R_ 3 плюс I_ 5 R_ 5 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_ 2 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = I_ 3 минус I_ 2 , I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_ 4 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = I_ 5 минус I_ 4 , I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 3 плюс I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 5 = I_ 3 R_ 3 плюс I_ 5 R_ 5 , I_ 3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 3 плюс I_ 5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка R_ 5 = I_ 3 R_ 3 плюс I_ 5 R_ 5 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений I_3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_3=I_2 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_2, I_5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_5=I_4 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_4, R_3 левая круглая скобка I_3 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_3 правая круглая скобка =R_2 левая круглая скобка I_2 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_2 правая круглая скобка , R_5 левая круглая скобка I_5 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_5 правая круглая скобка =R_4 левая круглая скобка I_4 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус I_4 правая круглая скобка . конец системы .$

Откуда получаем условие:

$дробь: числитель: R_5, знаменатель: R_3 конец дроби = дробь: числитель: R_4, знаменатель: R_2 конец дроби .$

Также заметим, что в задаче существует тривиальное решение. При $R_A B= бесконечность$ и любых конечных значениях остальных сопротивлений, I₁ будет всегда равен 0, вне зависимости от состояния ключа K.

Ответ: $дробь: числитель: R_5, знаменатель: R_3 конец дроби = дробь: числитель: R_4, знаменатель: R_2 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии по заданию	Баллы
Правильно записаны правила Кирхгофа для замкнутой цепи	2
Правильно записаны правила Кирхгофа для цепи после размыкания ключа	2
Получена формула балансировки сопротивлений	5
Рассмотрен частный случай: сопротивление R_AB бесконечное, все остальные сопротивления конечные	1

Комментарий:

Критерии по заданию	Баллы
Написана формула балансировки сопротивлений без вывода	3
При отсутствии аналитического решения рассмотрены частные случаи: a) Bсе $\mathcalE_\text i$ равны 0; б) Сопротивление R_AB бесконечное, все остальные сопротивления конечные; в) Все сопротивления R_i бесконечные	Каждый пункт 1

Критерии по заданию

Баллы

Написана формула балансировки сопротивлений без вывода

При отсутствии аналитического решения рассмотрены частные случаи:

a) Bсе $\mathcalE_\text i$ равны 0;

б) Сопротивление R_AB бесконечное, все остальные сопротивления конечные;

в) Все сопротивления R_i бесконечные

Каждый пункт 1

Олимпиада Курчатов, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Электродинамика. Расчет электрических цепей

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь