РЕШУ ОЛИМП, физика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 2775 Добавить в вариант

По гладкой горизонтальной поверхности скользят две маленькие шайбы 1 и 2, соединённые жёстким невесомым стержнем. Известно отношение масс шайб: $дробь: числитель: m_2, знаменатель: m_1 конец дроби =2.$ В некоторый момент времени, принятый за начальный, скорость шайбы 1 равна нулю, а скорость $\overrightarrowV_0$ шайбы 2 направлена перпендикулярно стержню. Найдите угол $альфа ,$ который образует со стержнем вектор скорости шайбы 2 в момент, когда стержень повернулся на угол 270° относительно начального положения. Ответ выразите в градусах и округлите до целого значения.

Спрятать решение

Решение.

Разложим скорости шайб на составляющие, параллельные и перпендикулярные стержню в конечном положении:

$\overrightarrowV_1=\vecu плюс \overrightarrowu_1,$ $\overrightarrowV_2=\vecu плюс \overrightarrowu_2.$

Вектор $\vecv$ направлен вдоль стержня. Так как длина стержня не меняется при движении, эта составляющая одинакова для обеих шайб. Векторы $\overrightarrowu_1$ и $\overrightarrowu_2$ перпендикулярны стержню. Поскольку шайбы движутся без трения, их суммарный импульс сохраняется:

$m_2 \overrightarrowV_0=m_1 \overrightarrowV_1 плюс m_2 \overrightarrowV_2 \Rightarrow 2 m_1 \overrightarrowV_0=m_1 левая круглая скобка \vecu плюс \overrightarrowu_1 правая круглая скобка плюс 2 m_1 левая круглая скобка \vecu плюс \overrightarrowu_2 правая круглая скобка \Rightarrow 2 \overrightarrowV_0=3 \vecu плюс \overrightarrowu_1 плюс 2 \overrightarrowu_2 .$ $m_2 \overrightarrowV_0=m_1 \overrightarrowV_1 плюс m_2 \overrightarrowV_2 \Rightarrow 2 m_1 \overrightarrowV_0=m_1 левая круглая скобка \vecu плюс \overrightarrowu_1 правая круглая скобка плюс 2 m_1 левая круглая скобка \vecu плюс \overrightarrowu_2 правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow 2 \overrightarrowV_0=3 \vecu плюс \overrightarrowu_1 плюс 2 \overrightarrowu_2 .$ $m_2 \overrightarrowV_0=m_1 \overrightarrowV_1 плюс m_2 \overrightarrowV_2 \Rightarrow$
$\Rightarrow 2 m_1 \overrightarrowV_0=m_1 левая круглая скобка \vecu плюс \overrightarrowu_1 правая круглая скобка плюс 2 m_1 левая круглая скобка \vecu плюс \overrightarrowu_2 правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow 2 \overrightarrowV_0=3 \vecu плюс \overrightarrowu_1 плюс 2 \overrightarrowu_2 .$

Направим оси неподвижной системы координат вдоль начального и конечного положений стержня. В проекциях имеем:

$2 V_0=3 u \Rightarrow u= дробь: числитель: 2 V_0, знаменатель: 3 конец дроби ,$ $0= минус u_1 плюс 2 u_2 \Rightarrow u_1=2 u_2.$

Далее воспользуемся законом сохранения энергии:

$дробь: числитель: m_2 V_0 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: m_1 V_1 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: m_2 V_2 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow 2 m_1 V_0 в квадрате =m_1 левая круглая скобка u в квадрате плюс u_1 в квадрате правая круглая скобка плюс 2 m_1 левая круглая скобка u в квадрате плюс u_2 в квадрате правая круглая скобка \Rightarrow 2 V_0 в квадрате =3 u в квадрате плюс u_1 в квадрате плюс 2 u_2 в квадрате .$ $дробь: числитель: m_2 V_0 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: m_1 V_1 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: m_2 V_2 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow 2 m_1 V_0 в квадрате =m_1 левая круглая скобка u в квадрате плюс u_1 в квадрате правая круглая скобка плюс 2 m_1 левая круглая скобка u в квадрате плюс u_2 в квадрате правая круглая скобка \Rightarrow 2 V_0 в квадрате =3 u в квадрате плюс u_1 в квадрате плюс 2 u_2 в квадрате .$ $дробь: числитель: m_2 V_0 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: m_1 V_1 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: m_2 V_2 в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow 2 m_1 V_0 в квадрате =m_1 левая круглая скобка u в квадрате плюс u_1 в квадрате правая круглая скобка плюс 2 m_1 левая круглая скобка u в квадрате плюс u_2 в квадрате правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow 2 V_0 в квадрате =3 u в квадрате плюс u_1 в квадрате плюс 2 u_2 в квадрате .$

Подставляя сюда полученные выше выражения для u и u₁, находим составляющую скорости u₂:

$2 V_0 в квадрате =3 умножить на дробь: числитель: 4 V_0 в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби плюс 4 u_2 в квадрате плюс 2 u_2 в квадрате \Rightarrow 6 u_2 в квадрате = дробь: числитель: 2 V_0 в квадрате , знаменатель: 3 конец дроби \Rightarrow u_2 в квадрате = дробь: числитель: V_0 в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби \Rightarrow u_2= дробь: числитель: V_0, знаменатель: 3 конец дроби .$

Так как вектор $\vecv$ направлен вдоль стержня, искомый угол $альфа$ есть угол между векторами $\vecv$ и $\overrightarrowV_2.$ Получаем:

$тангенс альфа = дробь: числитель: u_2, знаменатель: u конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \Rightarrow альфа = арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \approx 27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: $альфа =27 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Олимпиада Курчатов, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2021 год

Классификатор: Механика. Упругие взаимодействия

Спрятать решение · Помощь