Из металлической пластинки вырезали прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами a . Если включить треугольник в электрическую цепь так, как показано на левом рисунке, его сопротивление равно r, а если как на среднем — R. Из той же пластинки вырезали четыре квадрата со стороной a и соединили по углам проволочками с нулевым сопротивлением (правый рисунок). Найти сопротивление между точками А и В.
Поскольку треугольник содержит три вывода, но не содержит активных элементов, он эквивалентен некоторой «звезде» из трех сопротивлений (см. рис.). Сопротивления r1 и r2 найдем из данных условия
Отсюда
(отметим, что для данных условия должно быть выполнено неравенство 2r > R).
Теперь возвращаемся к данной в условии цепи. Поскольку она симметрична относительно прямой AB, ток по перемычке, связывающей левый симметрична относительно прямой AB, ток по перемычке, связывающей левый нижний и правый верхний квадраты не течет, и ее можно удалить из цепи. Более того, если сделать разрезы вдоль диагоналей квадратов так, как показано на рисунке, сохранив только соединение образовавшихся треугольников в вершинах (см. рис.), сопротивление цепи не изменится, поскольку в первоначальной цепи токи нигде не будут пересекать эти диагонали.
Ну а поскольку каждый треугольник эквивалентен «звезде», то данную цепь можно представить в виде
Соединяя теперь точки имеющие одинаковый потенциал, видим, что данная цепь эквивалентна следующей цепи
Находя ее сопротивление, получим для сопротивления данной цепи
Используя формулы (*) получаем окончательно для сопротивления данной цепи
Ответ: