сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 21 № 31
i

На се­кун­до­мер с ме­тал­ли­че­ским обо­дом и ме­тал­ли­че­ской стрел­кой по­да­ли по­сто­ян­ное на­пря­же­ние: к на­ча­лу стрел­ки и к точке “45 се­кунд” на ободе (см. рис.). Также в схему по­сле­до­ва­тель­но вклю­чи­ли лам­поч­ку. Через сколь­ко се­кунд после за­пус­ка яр­кость лам­поч­ки будет ми­ни­маль­ной? Через сколь­ко  — мак­си­маль­ной?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Яр­кость лам­поч­ки на­ка­ли­ва­ния про­пор­ци­о­наль­на мощ­но­сти, т. е. ~RI2, где R  — со­про­тив­ле­ние лам­поч­ки, I  — ток, те­ку­щий через неё. Сле­до­ва­тель­но, мак­си­маль­ная яр­кость до­сти­га­ет­ся при мак­си­маль­ном токе, те­ку­щем через лам­поч­ку, ми­ни­маль­ная яр­кость  — при ми­ни­маль­ном токе. На­ри­су­ем эк­ви­ва­лент­ную схему. По­сле­до­ва­тель­но со­еди­не­ны стрел­ка, обод се­кун­до­ме­ра (R)обода и лам­поч­ка (см. рис.). Мак­си­маль­ный ток до­сти­га­ет­ся тогда, когда со­про­тив­ле­ние обода се­кун­до­ме­ра об­ну­ля­ет­ся, т. е. при по­ло­же­нии стрел­ки "45 се­кунд".

Так как обод се­кун­до­ме­ра  — ме­тал­ли­че­ский, то можно предо­ста­вить пол­ное со­про­тив­ле­ние обода сле­ду­ю­щим об­ра­зом: R=\rho дробь: чис­ли­тель: l, зна­ме­на­тель: s конец дроби =2 Пи r дробь: чис­ли­тель: \rho, зна­ме­на­тель: s конец дроби , где 2 Пи r  — длина обода, S  — его по­пе­реч­ное се­че­ние, а \rho  — удель­ное со­про­тив­ле­ние ма­те­ри­а­ла. Стрел­ка часов делит обод на два со­про­тив­ле­ния, со­еди­нен­ных па­рал­лель­но, ве­ли­чи­на ко­то­рых за­ви­сит от длин дуг. Со­ста­вим про­пор­цию по от­но­ше­нию к "се­кун­дам":

 дробь: чис­ли­тель: l, зна­ме­на­тель: 2 Пи r конец дроби = дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: 60 конец дроби ,

где l  — длина дуги обода се­кун­до­ме­ра от '45' се­кунд до стрел­ки. Тогда со­про­тив­ле­ние R1 дуги l:

R_1=l дробь: чис­ли­тель: \rho, зна­ме­на­тель: S конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \rho, зна­ме­на­тель: S конец дроби дробь: чис­ли­тель: 2 Пи r левая круг­лая скоб­ка t плюс 60 минус 45 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 60 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \rho, зна­ме­на­тель: S конец дроби дробь: чис­ли­тель: 2 Пи r левая круг­лая скоб­ка t плюс 15 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 60 конец дроби .

\ м/с

R_2= левая круг­лая скоб­ка 2 Пи r минус l пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: \rho, зна­ме­на­тель: S конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \rho, зна­ме­на­тель: S конец дроби дробь: чис­ли­тель: 2 Пи r левая круг­лая скоб­ка 60 минус t минус 15 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 60 конец дроби .

Чтобы вы­яс­нить пол­ное со­про­тив­ле­ние обода се­кун­до­ме­ра Rобода, надо по­счи­тать па­рал­лель­ное со­про­тив­ле­ние R1 и R2:

R_обода= дробь: чис­ли­тель: R_1R_2, зна­ме­на­тель: R_1 плюс R_2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: \rho, зна­ме­на­тель: S конец дроби дробь: чис­ли­тель: 2 Пи r левая круг­лая скоб­ка t плюс 15 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 60 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: \rho, зна­ме­на­тель: S конец дроби дробь: чис­ли­тель: 2 Пи r левая круг­лая скоб­ка 60 минус t минус 15 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 60 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: \rho, зна­ме­на­тель: S конец дроби дробь: чис­ли­тель: 2 Пи r левая круг­лая скоб­ка t плюс 15 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 60 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: \rho, зна­ме­на­тель: S конец дроби дробь: чис­ли­тель: 2 Пи r левая круг­лая скоб­ка 60 минус t минус 15 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 60 конец дроби конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: \rho Пи r, зна­ме­на­тель: S конец дроби дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 15 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 60 минус t минус 15 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: l плюс 15 плюс 60 минус t минус 15 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \rho Пи r, зна­ме­на­тель: S конец дроби дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 15 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 45 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 60 конец дроби .

Со­про­тив­ле­ние Rобода под­клю­че­но в схему по­сле­до­ва­тель­но с лам­поч­кой, зна­чит, для ми­ни­маль­но­го тока, те­ку­ще­го через лампу на­ка­ли­ва­ния, со­про­тив­ле­ние долж­но быть мак­си­маль­ным, что про­ис­хо­дит при ре­ше­нии сле­ду­ю­ще­го урав­не­ния:

 левая круг­лая скоб­ка t плюс 15 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 45 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка =M a x

Вер­ши­на дан­ной па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся в точке t  =  15 сек.

 

Ответ: Через 15 се­кунд яр­кость лам­поч­ки будет ми­ни­маль­ной, через 45  — мак­си­маль­ной.

Классификатор: Элек­тро­ди­на­ми­ка. Рас­чет элек­три­че­ских цепей