сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 326
i

На ри­сун­ке изоб­ражён груз, при­вя­зан­ный к ле­та­тель­но­му ап­па­ра­ту. Ап­па­рат пред­став­ля­ет собой кон­тей­нер К, раз­делённый на два от­се­ка по­движ­ным порш­нем П. В верх­нем от­се­ке кон­тей­не­ра на­хо­дит­ся гелий, ниж­ний отсек со­об­ща­ет­ся с ат­мо­сфер­ным воз­ду­хом. В ниж­нем от­се­ке име­ет­ся на­гре­ва­тель­ный эле­мент Э, ко­то­рый может на­греть воз­дух в от­се­ке до тем­пе­ра­ту­ры T и под­дер­жи­вать эту тем­пе­ра­ту­ру по­сто­ян­ной. Пор­шень сколь­зит без тре­ния и слабо про­во­дит тепло. Вес ап­па­ра­та без со­дер­жа­щих­ся внут­ри газов F0.

Пер­во­на­чаль­но на­гре­ва­тель­ный эле­мент был вы­клю­чен, вся кон­струк­ция имела тем­пе­ра­ту­ру ат­мо­сфе­ры T0. Мак­си­маль­ный груз, ко­то­рый мог при этом под­нять ап­па­рат, имел вес F1. Когда на­гре­ва­тель­ный эле­мент вклю­чи­ли, воз­дух в ниж­нем от­се­ке быст­ро на­грел­ся до тем­пе­ра­ту­ры T. Гелий же, из-за сла­бой теп­ло­про­вод­но­сти порш­ня, имел пер­во­на­чаль­ную тем­пе­ра­ту­ру T0. При этом мак­си­маль­ный вес груза, под­ни­ма­е­мо­го ап­па­ра­том, ока­зал­ся равен F2. Чему ста­нет равен мак­си­маль­ный вес груза, когда гелий также на­гре­ет­ся до тем­пе­ра­ту­ры T?

Счи­тать, что тем­пе­ра­ту­ра ат­мо­сфер­но­го воз­ду­ха во­круг ап­па­ра­та по­сто­ян­на и равна T0. Мо­ляр­ная масса воз­ду­ха \mu_в, мо­ляр­ная масса гелия \mu_нe.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим Pa  — ат­мо­сфер­ное два­ле­ние. Плот­ность ат­мо­сфер­но­го воз­ду­ха за­ви­сит от его тем­пе­ра­ту­ры T0, не­слож­но найти эту за­ви­си­мость по урав­не­нию Кла­пей­ро­на-Мен­де­ле­е­ва, за­пи­сав по­след­нее для массы воз­ду­ха M в не­ко­то­ром объёме V:

P_aV= дробь: чис­ли­тель: M, зна­ме­на­тель: \mu_в конец дроби RT_0 \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: P_a \mu_в, зна­ме­на­тель: RT_0 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: M, зна­ме­на­тель: V конец дроби \equiv \rho_0. \quad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

Оче­вид­но, если тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха уве­ли­чи­ва­ет­ся до T (при не­из­мен­ном ат­мо­сфер­ном дав­ле­нии), его плот­ность ста­но­вит­ся равна  дробь: чис­ли­тель: P_a \mu_в, зна­ме­на­тель: RT конец дроби \equiv \rho. левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка

Пусть m  — масса гелия внут­ри ап­па­ра­та, V_0  — сум­мар­ный объём обоих от­се­ков ап­па­ра­та, V  — объём верх­не­го от­се­ка (с ге­ли­ем) в на­ча­ле. Дав­ле­ние воз­ду­ха в ниж­нем от­се­ке, а также дав­ле­ние гелия равны по усло­вию Pa. Для объёма V можно на­пи­сать вы­ра­же­ние, свя­зы­ва­ю­щее его с со­сто­я­ни­ем гелия по урав­не­нию Кла­пей­ро­на-Мен­де­ле­е­ва:

P_a V= дробь: чис­ли­тель: m, зна­ме­на­тель: \mu_не конец дроби RT_0 \Rightarrow V= дробь: чис­ли­тель: mRT_0, зна­ме­на­тель: P_a\mu_не конец дроби . \quad левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка

Вна­ча­ле, когда тем­пе­ра­ту­ра си­сте­мы была равна T0, подъёмная сила, дей­ству­ю­щая на груз, была раз­но­стью силы Ар­хи­ме­да, дей­ству­ю­щей на ап­па­рат со сто­ро­ны ат­мо­сфе­ры \rho_0 g V и сум­мар­ныйо веса: вес ап­па­ра­та F0, вес гелия mg и вес воз­ду­ха в ниж­нем от­се­ке \rho_0g левая круг­лая скоб­ка V минус V_0 пра­вая круг­лая скоб­ка :

F_1=\rho_0gV_0 минус левая квад­рат­ная скоб­ка F_0 плюс mg плюс \rho_0g левая круг­лая скоб­ка V_0 минус V пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая квад­рат­ная скоб­ка =\rho_0gV минус mg минус F_0. \quad левая круг­лая скоб­ка 4 пра­вая круг­лая скоб­ка

Это и есть мак­си­маль­ный вес груза, ко­то­рый под­ни­ма­ет в этом слу­чае ап­па­рат. Под­став­ляя сюда \rho_0 и V из (1, 3), по­лу­чим

F_1= дробь: чис­ли­тель: P_a \mu_в, зна­ме­на­тель: RT_0 конец дроби g дробь: чис­ли­тель: mRT_0, зна­ме­на­тель: P_a\mu_не конец дроби минус mg минус F_0= mg левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: \mu_в, зна­ме­на­тель: \mu_не конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус F_0.

Это воз­во­ля­ет найти вес гелия,

mg= дробь: чис­ли­тель: F_0 плюс F_1, зна­ме­на­тель: \mu_в/\mu_не минус 1 конец дроби . \quad левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка

Когда воз­дух в ниж­нем от­се­ке на­грел­ся, гелий вна­ча­ле не из­ме­нил свою тем­пе­ра­ту­ру T0 (и дав­ле­ние у него по-преж­не­му ат­мо­сфер­ное), а зна­чит объём V верх­не­го от­се­ка ещё не из­ме­нил­ся. Зато плот­ность (и вес) воз­ду­ха в ниж­нем от­се­ке из­ме­ни­лась. По­это­му и подъёмная сила вме­сто фор­му­лы (4) будет иметь вид

F_2=\rho_0gV_0 минус левая квад­рат­ная скоб­ка F_0 плюс mg плюс \rho g левая круг­лая скоб­ка V_0 минус V пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая квад­рат­ная скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка \rho_0 минус \rho пра­вая круг­лая скоб­ка gV_0 минус F_0 минус mg плюс \rho g V. \quad левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка

На­ко­нец, когда гелий также на­грел­ся, объём верх­не­го от­се­ка стал равен V', ко­то­рый вы­чис­ля­ет­ся ана­ло­гич­но фор­му­ле (3)

P_a V'= дробь: чис­ли­тель: m, зна­ме­на­тель: \mu_не конец дроби RT \Rightarrow V'= дробь: чис­ли­тель: mRT, зна­ме­на­тель: P_a\mu_не конец дроби . \quad левая круг­лая скоб­ка 7 пра­вая круг­лая скоб­ка

При этом подъёмная сила ап­па­ра­та также из­ме­нит­ся по срав­не­нию с (6) и ста­нет равна

F_3=\rho_0gV_0 минус левая квад­рат­ная скоб­ка F_0 плюс mg плюс \rho g левая круг­лая скоб­ка V_0 минус V' пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая квад­рат­ная скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка \rho_0 минус \rho пра­вая круг­лая скоб­ка gV_0 минус F_0 минус mg плюс \rho g V'.\quad левая круг­лая скоб­ка 8 пра­вая круг­лая скоб­ка

Срав­ни­вая (6) и (8), видим, что всё, кроме по­след­не­го сла­га­е­мо­го у них оди­на­ко­вое. Зна­чит, чтобы по­лу­чить F3 из F2, нужно на­пи­сать

F_3=F_2 минус \rho g V плюс \rho gV'

Под­став­ляя сюда \rho из (2), V и V' из (3, 7), по­лу­чим

F_3=F_2 минус дробь: чис­ли­тель: P_a \mu_в, зна­ме­на­тель: RT конец дроби g дробь: чис­ли­тель: mRT_0, зна­ме­на­тель: P_a\mu_не конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: P_a \mu_в, зна­ме­на­тель: RT конец дроби g дробь: чис­ли­тель: mRT, зна­ме­на­тель: P_a\mu_не конец дроби = F_2 минус mg дробь: чис­ли­тель: T_0 \mu_в, зна­ме­на­тель: T\mu_не конец дроби плюс mg дробь: чис­ли­тель: \mu_в, зна­ме­на­тель: \mu_не конец дроби = F_2 плюс mg дробь: чис­ли­тель: \mu_в, зна­ме­на­тель: \mu_не конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: T_0, зна­ме­на­тель: T конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Под­став­ляя сюда mg из (5), по­лу­чим ответ.

 

Ответ: F_3=F_2 плюс дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка F_0 плюс F_1 пра­вая круг­лая скоб­ка k, зна­ме­на­тель: k минус 1 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: T_0, зна­ме­на­тель: T конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , \qquadгде \quad k= дробь: чис­ли­тель: \mu_в, зна­ме­на­тель: \mu_нe конец дроби .

Классификатор: Ме­ха­ни­ка. Сила Ар­хи­ме­да. Усло­вие пла­ва­ния тел