сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 327
i

Ма­лень­кий упру­гий шарик вы­ле­та­ет с по­верх­но­сти земли со ско­ро­стью V под углом  альфа , уда­ря­ет­ся о вер­ти­каль­ную стену и па­да­ет на землю. Под тем же углом к го­ри­зон­ту из той же точки с той же ско­ро­стью вы­пус­ка­ют сна­ряд, пред­став­ля­ю­щий собой груз массы m, перед ко­то­рым за­креп­ле­на лёгкая пру­жи­на дли­ной l. Сна­ряд летит так, что пру­жи­на все­гда рас­по­ло­же­на го­ри­зон­таль­но перед гру­зом (см. рис.). На­толк­нув­шись на стену, пру­жи­на сжи­ма­ет­ся, затем раз­жи­ма­ет­ся до не­де­фор­ми­ро­ван­но­го со­сто­я­ния, сна­ряд от­ска­ки­ва­ет и па­да­ет на землю. При па­де­нии груз попал в ту же точку, что и упру­гий шарик. Най­ди­те жёсткость пру­жи­ны. В про­цес­се со­уда­ре­ния со сте­ной пру­жи­на во все мо­мен­ты вре­ме­ни остаётся го­ри­зон­таль­ной, груз не ка­са­ет­ся стены, тре­ния между сте­ной и пру­жи­ной нет.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим сна­ча­ла го­ри­зон­таль­ное дви­же­ние упру­го­го. Го­ри­зон­таль­ная ско­рость его дви­же­ния V ко­си­нус альфа всё время по­сто­ян­на. Упру­гая стена в мо­мент удара лишь «раз­во­ра­чи­ва­ет» го­ри­зон­таль­ную ско­рость ша­ри­ка. Од­на­ко, на­ли­чие стены никак не вли­я­ет на вер­ти­каль­ное дви­же­ние: упру­гий шарик будет на­хо­дить­ся в полёте столь­ко же вре­ме­ни, как если бы он про­сто летел под углом  альфа к го­ри­зон­ту.

Рас­смот­рим те­перь го­ри­зон­таль­ное дви­же­ние сна­ря­да. По усло­вию за­да­чи пру­жи­на не вли­я­ет на вер­ти­каль­ное дви­же­ние сна­ря­да, она всё время остаётся го­ри­зон­таль­ной, и тре­ние между ней и вер­ти­каль­ной сте­ной от­сут­ству­ет. По­это­му и шарик и сна­ряд в полёте дви­жут­ся по вер­ти­ка­ли оди­на­ко­во, «син­хрон­но».

Пока пру­жи­на не кос­ну­лась стены, он летит рав­но­мер­но, с той же го­ри­зон­таль­ной ско­ро­стью, что и шарик. Од­на­ко, часть вре­ме­ни T0 пру­жи­на будет ка­сать­ся стены, в этот про­ме­жу­ток груз будет сна­ча­ла за­мед­лять­ся, потом уско­рять­ся дви­же­ния, то есть его го­ри­зон­таль­ное дви­же­ние не будет рав­но­мер­ным.

По усло­вию за­да­чи пру­жи­на сжи­ма­ет­ся и успе­ва­ет пол­но­стью раз­жать­ся до того как груз упал на землю. Кроме того груз по усло­вию не уда­ря­ет­ся о стену. Такое дви­же­ние в точ­но­сти со­от­вет­ству­ет по­ло­ви­не пе­ри­о­да ко­ле­ба­ний груза мас­сой m на пру­жи­не жёстко­стью k, то есть за­ни­ма­ет время T_0= Пи ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: m, зна­ме­на­тель: k конец дроби конец ар­гу­мен­та .

За это время груз «раз­вернётся» и даль­ше по­ле­тит от стены с той же го­ри­зон­таль­ной ско­ро­стью, с какой на­ле­тал, и го­ри­зон­таль­ное дви­же­ние его снова ста­нет рав­но­мер­ным.

Кроме про­ме­жут­ка вре­ме­ни T0 сна­ряд летит по го­ри­зон­та­ли рав­но­мер­но «син­хрон­но» с упру­гим ша­ри­ком. Син­хрон­ность их дви­же­ния по го­ри­зон­та­ли на­ру­ша­ет­ся лишь пока пру­жи­на ка­са­ет­ся стены, то есть пока шарик ближе к стене, чем длина l не­рас­тя­ну­той пру­жи­ны.

Зна­чит, сна­ряд ока­жет­ся на земле в той же точке, что и шарик, если шарик про­ле­тит по го­ри­зон­та­ли удво­ен­ную длину пру­жи­ны (до стены и об­рат­но) за то же время T0, что и сна­ряд, пока он со­вер­ша­ет ко­ле­ба­тель­ное дви­же­ние: T_0= дробь: чис­ли­тель: 2l, зна­ме­на­тель: V ко­си­нус альфа конец дроби . От­сю­да

 Пи ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: m, зна­ме­на­тель: k конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 2l, зна­ме­на­тель: V ко­си­нус альфа конец дроби \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: m Пи в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: k конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4l в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: V в квад­ра­те ко­си­нус в квад­ра­те альфа конец дроби \Rightarrow k= дробь: чис­ли­тель: Пи в квад­ра­те m V в квад­ра­те ко­си­нус в квад­ра­те альфа , зна­ме­на­тель: 4l в квад­ра­те конец дроби .

 

Ответ: Жёсткость пру­жи­ны k= дробь: чис­ли­тель: Пи в квад­ра­те m V в квад­ра­те ко­си­нус в квад­ра­те альфа , зна­ме­на­тель: 4l в квад­ра­те конец дроби .

Классификатор: Ме­ха­ни­ка. Упру­гие вза­и­мо­дей­ствия