Пусть банка ка­тит­ся на­ле­во со ско­ро­стью v. Так как тре­ние тела о банку ве­ли­ко, будем счи­тать, что в рас­смат­ри­ва­е­мый мо­мент тело имеет ту же ско­рость, что и по­верх­ность банки: дви­жет­ся по­сту­па­тель­но впра­во вме­сте с осью ка­тя­щей­ся банки (со ско­ро­стью ) и вра­ща­ет­ся во­круг оси банки про­тив ча­со­вой стрел­ки с той же ско­ро­стью (см. рис. 10, угол на ри­сун­ке ха­рак­те­ри­зу­ет рас­по­ло­же­ние тела от­но­си­тель­но банки в дан­ный мо­мент).

Таким об­ра­зом, тело имеет ско­рость при этом так как по усло­вию за­да­чи банка ка­тит­ся без про­скаль­зы­ва­ния  — ниж­няя точка банки в каж­дый мо­мент по­ко­ит­ся от­но­си­тель­но земли.

На ри­сун­ке 11 изоб­ра­же­ны силы, дей­ству­ю­щие на тело. Сила Ло­рен­ца qBV пред­став­ле­на в виде двух вкла­дов: F₁  =  QBv и F₂  =  QBv_вращ  =  QBv, каж­дая из них на­прав­ле­на в со­от­вет­ствии с «пра­ви­лом левой руки», пер­пен­ди­ку­ляр­но со­от­вет­ству­ю­щей ком­по­нен­те ско­ро­сти. Чтобы тело не от­ры­ва­лось от по­верх­но­сти банки, сила N не долж­на об­ра­щать­ся в ноль.

За­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на для кру­го­во­го дви­же­ния тела. В про­ек­ции на на­прав­ле­ние r цен­тру вра­ще­ния сумма всех сил долж­ны быть равна цен­тро­стре­ми­тель­ной силе

Слу­чай 1. Если по­смот­рев на вы­ра­же­ние (1), легко по­нять, что N ми­ни­маль­на, если то есть когда тело на­хо­дит­ся в верх­ней точке тра­ек­то­рии:

Не­ра­вен­ство в пра­вой части мы на­пи­са­ли, так как хотим ис­поль­зо­вать усло­вие, что тело не от­ры­ва­ет­ся от банки даже в мо­мент, когда оно про­хо­дит верх­нюю точку тра­ек­то­рии. Решая не­ра­вен­ство от­но­си­тель­но v, на­хо­дим (на­пом­ним, мы ин­те­ре­су­ем­ся слу­ча­ем толь­ко по­ло­жи­тель­ны­ми зна­че­ни­я­ми ско­ро­сти v):

Сов­мест­ны ли два этих усло­вия? Про­ве­рим, когда нуж­ный диа­па­зон ско­ро­стей су­ще­ству­ет, то есть верно ли

Упро­стим не­ра­вен­ство:

По­след­нее не­ра­вен­ство верно, если но если вспом­нить, как вве­де­но z, оче­вид­но, что по­след­нее верно все­гда.

Слу­чай 2. Если же в вы­ра­же­нии N скоб­ка Mg − QBv не­по­ло­жи­тель­на по­смот­рев на вы­ра­же­ние (1), легко по­нять, что N ми­ни­маль­на, если то есть когда тело на­хо­дит­ся в ниж­ней точке тра­ек­то­рии:

Упро­щая это не­ра­вен­ство видим, что оно вы­пол­ня­ет­ся все­гда. По­это­му в рас­смат­ри­ва­е­мом слу­чае до­ста­точ­но, чтобы

Объ­еди­няя слу­чаи 1 и 2 видим, что когда ко­ле­со ка­тит­ся влево, до­ста­точ­но по­тре­бо­вать

Пусть те­перь банка ка­тит­ся на­пра­во. При этом на­прав­ле­ния сил F₁ и F₂ из­ме­нят­ся на про­ти­во­по­лож­ные. Вме­сто фор­му­лы будет иметь место вы­ра­же­ние Здесь до­ста­точ­но рас­смот­реть един­ствен­ный слу­чай, так как по усло­вию то есть ми­ни­мум N до­сти­га­ет­ся при не­от­ри­ца­тель­ность N при­об­ре­та­ет вид

Решая не­ра­вен­ство от­но­си­тель­но v, на­хо­дим (учи­ты­вая, что нас ин­те­ре­су­ют лишь по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния ско­ро­сти v)

Ответ: Если ко­ле­со ка­тит­ся на­ле­во, долж­но быть Если ко­ле­со ка­тит­ся на­пра­во, тре­бу­ет­ся