РЕШУ ОЛИМП, физика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 331 Добавить в вариант

На рисунке изображён груз, привязанный к летательному аппарату. Аппарат представляет собой контейнер К, разделённый на два отсека подвижным поршнем П. В верхнем отсеке контейнера находится гелий, нижний отсек сообщается с атмосферным воздухом. В нижнем отсеке имеется нагревательный элемент Э, который может нагреть воздух в отсеке до температуры T и поддерживать эту температуру постоянной. Поршень скользит без трения и слабо проводит тепло. Вес аппарата без содержащихся внутри газов F₀. Первоначально нагревательный элемент был выключен, вся конструкция имела температуру атмосферы T₀. Максимальный груз, который мог при этом поднять аппарат, имел вес F₁. Когда нагревательный элемент включили, воздух в нижнем отсеке быстро нагрелся до температуры T. Через некоторое время до температуры T нагрелся и гелий, при этом максимальный вес груза, поднимаемого аппаратом, оказался равен F₂. Чему был равен максимальный вес поднимаемого груза, когда воздух в нижнем отсеке уже нагрелся до температуры T, а гелий ещё имел первоначальную температуру T₀?

Считать, что температура атмосферного воздуха вокруг аппарата постоянна и равна $T_0.$ Молярная масса воздуха $\mu_в,$ молярная масса гелия $\mu_нe.$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим P_a  — атмосферное дваление. Плотность атмосферного воздуха зависит от его температуры T₀, несложно найти эту зависимость по уравнению Клапейрона-Менделеева, записав последнее для массы воздуха M в некотором объёме V:

$P_aV= дробь: числитель: M, знаменатель: \mu_в конец дроби RT_0 \Rightarrow дробь: числитель: P_a \mu_в, знаменатель: RT_0 конец дроби = дробь: числитель: M, знаменатель: V конец дроби \equiv \rho_0. \quad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

Очевидно, если температура воздуха увеличивается до T (при неизменном атмосферном давлении), его плотность становится равна $дробь: числитель: P_a \mu_в, знаменатель: RT конец дроби \equiv \rho. левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

Пусть m  — масса гелия внутри аппарата, $V_0$   — суммарный объём обоих отсеков аппарата, V  — объём верхнего отсека (с гелием) в начале. Давление воздуха в нижнем отсеке, а также давление гелия равны по условию P_a. Для объёма V можно написать выражение, связывающее его с состоянием гелия по уравнению Клапейрона-Менделеева:

$P_a V= дробь: числитель: m, знаменатель: \mu_не конец дроби RT_0 \Rightarrow V= дробь: числитель: mRT_0, знаменатель: P_a\mu_не конец дроби . \quad левая круглая скобка 3 правая круглая скобка$

Вначале, когда температура системы была равна T₀, подъёмная сила, действующая на груз, была разностью силы Архимеда, действующей на аппарат со стороны атмосферы $\rho_0 g V$ и суммарныйо веса: вес аппарата F₀, вес гелия mg и вес воздуха в нижнем отсеке $\rho_0g левая круглая скобка V минус V_0 правая круглая скобка :$

$F_1=\rho_0gV_0 минус левая квадратная скобка F_0 плюс mg плюс \rho_0g левая круглая скобка V_0 минус V правая круглая скобка правая квадратная скобка =\rho_0gV минус mg минус F_0. \quad левая круглая скобка 4 правая круглая скобка$

Это и есть максимальный вес груза, который поднимает в этом случае аппарат. Подставляя сюда $\rho_0$ и V из (1, 3), получим

$F_1= дробь: числитель: P_a \mu_в, знаменатель: RT_0 конец дроби g дробь: числитель: mRT_0, знаменатель: P_a\mu_не конец дроби минус mg минус F_0= mg левая круглая скобка дробь: числитель: \mu_в, знаменатель: \mu_не конец дроби минус 1 правая круглая скобка минус F_0.$

Это возволяет найти вес гелия,

$mg= дробь: числитель: F_0 плюс F_1, знаменатель: \mu_в/\mu_не минус 1 конец дроби . \quad левая круглая скобка 5 правая круглая скобка$

Когда воздух в нижнем отсеке нагрелся, гелий вначале не изменил свою температуру T₀ (и давление у него по-прежнему атмосферное), а значит объём V верхнего отсека ещё не изменился. Зато плотность (и вес) воздуха в нижнем отсеке изменилась. Поэтому и подъёмная сила вместо формулы (4) будет иметь вид

$F_2=\rho_0gV_0 минус левая квадратная скобка F_0 плюс mg плюс \rho g левая круглая скобка V_0 минус V правая круглая скобка правая квадратная скобка = левая круглая скобка \rho_0 минус \rho правая круглая скобка gV_0 минус F_0 минус mg плюс \rho g V. \quad левая круглая скобка 6 правая круглая скобка$ $F_2=\rho_0gV_0 минус левая квадратная скобка F_0 плюс mg плюс \rho g левая круглая скобка V_0 минус V правая круглая скобка правая квадратная скобка = левая круглая скобка \rho_0 минус \rho правая круглая скобка gV_0 минус F_0 минус mg плюс \rho g V. \quad$
$\quad левая круглая скобка 6 правая круглая скобка$

Наконец, когда гелий также нагрелся, объём верхнего отсека стал равен V', который вычисляется аналогично формуле (3)

$P_a V'= дробь: числитель: m, знаменатель: \mu_не конец дроби RT \Rightarrow V'= дробь: числитель: mRT, знаменатель: P_a\mu_не конец дроби . \quad левая круглая скобка 7 правая круглая скобка$

При этом подъёмная сила аппарата также изменится по сравнению с (6) и станет равна

$F_3=\rho_0gV_0 минус левая квадратная скобка F_0 плюс mg плюс \rho g левая круглая скобка V_0 минус V' правая круглая скобка правая квадратная скобка = левая круглая скобка \rho_0 минус \rho правая круглая скобка gV_0 минус F_0 минус mg плюс \rho g V'.\quad левая круглая скобка 8 правая круглая скобка$ $F_3=\rho_0gV_0 минус левая квадратная скобка F_0 плюс mg плюс \rho g левая круглая скобка V_0 минус V' правая круглая скобка правая квадратная скобка = левая круглая скобка \rho_0 минус \rho правая круглая скобка gV_0 минус F_0 минус mg плюс \rho g V'.\quad$
$\quad левая круглая скобка 8 правая круглая скобка$

Сравнивая (6) и (8), видим, что всё, кроме последнего слагаемого у них одинаковое. Значит, чтобы получить F₂ из F₃, нужно написать

$F_2=F_3 плюс \rho g V минус \rho gV'$

Подставляя сюда $\rho$ из (2), V и V' из (3, 7), получим

$F_2=F_3 плюс дробь: числитель: P_a \mu_в, знаменатель: RT конец дроби g дробь: числитель: mRT_0, знаменатель: P_a\mu_не конец дроби минус дробь: числитель: P_a \mu_в, знаменатель: RT конец дроби g дробь: числитель: mRT, знаменатель: P_a\mu_не конец дроби = F_2 плюс mg дробь: числитель: T_0 \mu_в, знаменатель: T\mu_не конец дроби минус mg дробь: числитель: \mu_в, знаменатель: \mu_не конец дроби = F_2 минус mg дробь: числитель: \mu_в, знаменатель: \mu_не конец дроби левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: T_0, знаменатель: T конец дроби правая круглая скобка .$ $F_2=F_3 плюс дробь: числитель: P_a \mu_в, знаменатель: RT конец дроби g дробь: числитель: mRT_0, знаменатель: P_a\mu_не конец дроби минус дробь: числитель: P_a \mu_в, знаменатель: RT конец дроби g дробь: числитель: mRT, знаменатель: P_a\mu_не конец дроби =$
$= F_2 плюс mg дробь: числитель: T_0 \mu_в, знаменатель: T\mu_не конец дроби минус mg дробь: числитель: \mu_в, знаменатель: \mu_не конец дроби = F_2 минус mg дробь: числитель: \mu_в, знаменатель: \mu_не конец дроби левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: T_0, знаменатель: T конец дроби правая круглая скобка .$

Подставляя сюда mg из (5), получим ответ.

Ответ: $F_2=F_3 минус дробь: числитель: левая круглая скобка F_0 плюс F_1 правая круглая скобка k, знаменатель: k минус 1 конец дроби левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: T_0, знаменатель: T конец дроби правая круглая скобка , \qquadгде \quad k= дробь: числитель: \mu_в, знаменатель: \mu_нe конец дроби .$

Городская открытая олимпиада школьников по физике, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2021 год

Классификатор: Механика. Сила Архимеда. Условие плавания тел

Спрятать решение · Помощь