Пусть на по­верх­но­сти ша­ри­ка рас­по­ло­жен заряд q. Обо­зна­чим по­тен­ци­ал бес­ко­неч­но удалённой точки (и ме­тал­ли­че­ской стены, со­дер­жа­щей эту точку) за ноль. По­тен­ци­ал ша­ри­ка будет со­зда­вать­ся за­ря­да­ми, на­хо­дя­щи­ми­ся на его по­верх­но­сти (эта ве­ли­чи­на равна и за­ря­да­ми, ин­ду­ци­ро­ван­ны­ми на ме­тал­ли­че­ской стен­ке.

Сле­ду­ет оста­но­вить­ся на во­про­се, по­че­му на стен­ке воз­ни­ка­ет заряд, и как его учесть. За­ря­ды ша­ри­ка со­зда­ют на стен­ке элек­три­че­скую на­пряжённость, так что за­ря­ды внут­ри ме­тал­ла пе­ре­рас­пре­де­ля­ют­ся до тех пор, пока на­пряжённость в ме­тал­ле не про­падёт, а сам ме­талл не ока­жет­ся эк­ви­по­тен­ци­аль­ным. При этом по т. н. «ме­то­ду зер­каль­ных изоб­ра­же­ний» можно до­ка­зать, что поле, со­зда­ва­е­мое ин­ду­ци­ро­ван­ны­ми за­ря­да­ми в точ­но­сти такое же, как если бы стен­ка от­сут­ство­ва­ла, а вме­сто этого за стен­кой зер­каль­но сим­мет­рич­но ша­ри­ку на­хо­ди­лось «изоб­ра­же­ние»  — шарик с за­ря­дом −q.

Рас­сто­я­ние между ша­ри­ком и стен­кой обо­зна­чим R. Тогда 2R  — рас­сто­я­ние между ша­ри­ком и его элек­тро­ста­ти­че­ским изоб­ра­же­ни­ем. Ин­те­рес­но, что энер­гия вза­и­мо­дей­ствия ша­ри­ка и изоб­ра­же­ния равна не (как это было бы, если бы мы ин­те­ре­со­ва­лись по­тен­ци­аль­ной ку­ло­нов­ской энер­ги­ей двух ша­ри­ков), а в 2 раза мень­ше. Дей­стви­тель­но, если два ша­ри­ка па­да­ют друг на друга, по­тен­ци­аль­ная ку­ло­нов­ская энер­гия пе­ре­хо­дит в ме­ха­ни­че­скую  — ки­не­ти­че­скую энер­гию каж­до­го ша­ри­ка. Од­на­ко, если одно из тел  — изоб­ра­же­ние, оно пе­ре­ме­ща­ет­ся с той же ско­ро­стью, что и ис­ход­ный шарик, од­на­ко ки­не­ти­че­ской энер­гии не имеет. Иными сло­ва­ми, энер­гия вза­и­мо­дей­ствия ша­ри­ка с изоб­ра­же­ни­ем равна

В ре­зуль­та­те, пол­ный по­тен­ци­ал на ша­ри­ке равен От­ме­тим, что для ма­лень­ко­го ша­ри­ка вто­рой вклад го­раз­до мень­ше пер­во­го. Раз­ность по­тен­ци­а­лов между ша­ри­ком и стен­кой при этом равна при­ло­жен­но­му между ними на­пря­же­нию

На­пряжённость рядом с ша­ри­ком cоздаётcя и за­ря­дом са­мо­го ша­ри­ка, и элек­тро­ста­ти­че­ским «изоб­ра­же­ни­ем». Су­пер­по­зи­ция на­пряжённо­сти за­ря­дов са­мо­го ша­ри­ка и на­пряжённо­сти, со­зда­ва­е­мой от­ри­ца­тель­но за­ря­жен­ным «изоб­ра­же­ни­ем» даёт (на­пряжённо­сти скла­ды­ва­ют­ся с той сто­ро­ны ша­ри­ка, где он ближе к стен­ке)

В мо­мент про­боя на­пряжённость мак­си­маль­ная рядом с ша­ри­ком со сто­ро­ны стен­ки и равна E_кр, от­ку­да

Под­став­ляя это в вы­ра­же­ние для U, по­лу­чим ответ на один из во­про­сов за­да­чи:

Из усло­вия ме­ха­ни­че­ско­го рав­но­ве­сия в мо­мент про­боя не­слож­но найти массу ша­ри­ка. В мо­мент про­боя ре­зуль­ти­ру­ю­щая вер­ти­каль­ной силы тя­же­сти mg и го­ри­зон­таль­ной силы при­тя­же­ния ша­ри­ка к стене (или, что то же самое, к изоб­ра­же­нию) на­прав­ле­на под углом к вер­ти­ка­ли, то есть

Ответ: на­пря­же­ние в мо­мент про­боя задаётся со­от­но­ше­ни­ем (1), а масса ша­ри­ка  — со­от­но­ше­ни­ем (2).