сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 21 № 34
i

Из дырки в стене (см.рис.) во все сто­ро­ны по полу на­чи­на­ют од­но­вре­мен­но раз­бе­гать­ся му­равьи. Ско­рость всех му­ра­вьев оди­на­ко­ва и равна  v . Пы­ле­сос со щет­кой, рас­по­ло­жен­ной под углом  альфа =30 гра­ду­сов к стен­ке, дви­жет­ся вдоль стены со ско­ро­стью u так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Через какое время t пер­вый му­ра­вей попал под щетку, если на­чаль­ное рас­сто­я­ние между точ­кой A щетки и дыр­кой в стене равно l?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Му­равьи, раз­бе­га­ясь из точки B, об­ра­зу­ют круг ра­ди­у­са  v t в мо­мент вре­ме­ни t (см. рис.). Пер­вая точка пе­ре­се­че­ния линии щетки и му­ра­вьев  — точка O, в ко­то­рой линия щетки яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к окруж­но­сти, об­ра­зо­ван­ной му­ра­вья­ми. Таким об­ра­зом, от­ре­зок BO= v t пер­пен­ди­ку­ля­рен на­прав­ле­нию щетки, а место встре­чи  — точка O Рас­смот­рим мо­мент вре­ме­ни t. Тре­уголь­ник A`OB  — пря­мо­уголь­ный с углом  альфа =45 гра­ду­сов. Для та­ко­го тре­уголь­ни­ка верно сле­ду­ю­щее со­от­но­ше­ние:

 дробь: чис­ли­тель: O B, зна­ме­на­тель: B A в сте­пе­ни ` конец дроби = дробь: чис­ли­тель: v t, зна­ме­на­тель: l минус ut конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = синус 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

От­ку­да можно по­лу­чить вы­ра­же­ние для вре­ме­ни встре­чи t:

t= дробь: чис­ли­тель: l, зна­ме­на­тель: ко­рень из 2 v плюс u конец дроби .

 

При­ме­ча­ние: Также, со­отео­ше­ние для сто­рон OB и BA`верно сле­ду­ю­щее:

OB в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 2BA в сте­пе­ни prime пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,

что и при­во­дит к на­пи­сан­но­му выше.

 

Ответ: t= дробь: чис­ли­тель: l, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та v плюс u конец дроби .

Классификатор: Ме­ха­ни­ка. От­но­си­тель­ность дви­же­ния