Невесомая паутина имеет правильную шестиугольную форму (см. рис.) и закреплена за концы нитей параллельно земле. В начальный момент паутина не растянута и не провисает. Паук массой m забирается на паутину и останавливается в её центре, при этом центр прогибается вниз на величину h. Найдите коэффициент жёсткости k отрезка паутинной нити, если длина нерастянутого отрезка паутинной нити — l (см. рис.), его коэффициент жесткости — k, ускорение свободного падения — g. Размерами паука по сравнению с размерами паутины пренебречь.
Искомую жёсткость обозначим через k Обратим внимание, что даже в прогнувшейся паутине поперечные нити, образующие шестиугольники, остаются нерастянутыми — они попросту поступательно опускаются вниз.
Действительно, рассмотрим паутину, в которой удалены все поперечные нити. После того, как паук заберется в центр такой упрощённой паутины, центр опустится на некоторую величину. Естественно, что радиальные нити останутся при этом прямыми, а положение, которое займёт паук, будет устойчивым положением равновесия. Обратим внимание, что при опускании центра паутины вниз, расстояния между точками, где крепились поперечные нити, останется неизменным. Для этого рассмотрим какую-нибудь поперечную нить в любом треугольнике, образованном соседними радиальными нитями (см. рис.). Длина этой нити а x определяется подобием треугольников
Когда точка O сдвигается под весом паука, величины a и b изменяются пропорционально 
а величина s остается неизменной, значит, длина любой поперечной нити x не меняется. Вернем теперь поперечные нити обратно. Поскольку они не растянуты, они никак не влияют на положение паука и не изменяют натяжение радиальных нитей. Если теперь паук слезет с паутины, она непрерывным образом вернётся в исходное состояние.
Таким образом, поперечные нити не оказывают влияния на систему, и их на самом деле можно убрать из рассмотрения. Достаточно рассмотреть паука массой m, которого удерживают шесть радиальных эластичных паутинных нитей.
Если паутинная нить длиной l имеет жёсткость k, то под действием силы F растягивается на 
Радильная паутина, состоящая из трёх таких кусков, под действием силы F растянется на 
(каждый кусочек растянется на 
). Значит, жёсткость всей радиальной паутины целиком равна
Рассмотрим условие равновесия паука в проекции на вертикальную ось. На втором рисунке изображены две из шести радиальных нитей сбоку (в вертикальной плоскости) в двух положениях: в нерастянутом состоянии, и прогнувшиеся под весом паука. Угол между прогнувшейся нитью и вертикалью обозначим через 
а силу упругости в длинной радиальной нити — через F упр.
Из второго закона Ньютона получаем условие вертикального равновесия системы:
Найдём F упр. Как видно из рисунка, длина у растянутой радиальной нити по теореме Пифагора равна 
Следовательно, в кажжой из шести радиальных нитей возникает сила упругости
Также, нетрудно из прямоугольного треугольника найти угол 
:
После подстановки (2, 3) в (1) получим
откуда легко получаем ответ 
Ответ: 