Опре­де­лим R  — ра­ди­ус ор­би­ты ГСС. Пе­ри­од его об­ра­ще­ния дол­жен рав­нять­ся зем­ным сут­кам, то есть (υ  — ско­рость ГСС). С дру­гой сто­ро­ны, из урав­не­ния для цен­тро­стре­ми­тель­ной ком­по­нен­ты уско­ре­ния спут­ни­ка, ко­то­рое со­зда­ет­ся силой при­тя­же­ния к Земле (ее массу обо­зна­чим M)

сле­ду­ет, что Сле­до­ва­тель­но, С уче­том того, что это вы­ра­же­ние при­во­дит­ся к виду

Ско­рость спут­ни­ка на этой ор­би­те

За Зем­лей су­ще­ству­ет об­ласть пол­ной тени, в ко­то­рую сол­неч­ные лучи не по­па­да­ют. Из-за ко­неч­но­го раз­ме­ра Солн­ца эта об­ласть огра­ни­че­на: ее длина

что зна­чи­тель­но боль­ше R. Таким об­ра­зом, схо­ди­мо­стью об­ла­сти зем­ной тени в за­да­че о ГСС можно пре­не­бречь (на самом деле те лучи, ко­то­рые про­хо­дят у са­мо­го края Земли, ис­пы­ты­ва­ют пре­лом­ле­ние в зем­ной ат­мо­сфе­ре, что зна­чи­тель­но со­кра­ща­ет раз­ме­ры об­ла­сти пол­ной тени, но она все равно оста­ет­ся до­ста­точ­но ве­ли­ка). Но ГСС да­ле­ко не все­гда про­хо­дит через эту об­ласть  — ведь его ор­би­та лежит в эк­ва­то­ри­аль­ной плос­ко­сти Земли, ко­то­рая на­кло­не­на по от­но­ше­нию к плос­ко­сти зем­ной ор­би­ты. Этот угол, как видно из верх­не­го ри­сун­ка, по­сто­ян­но из­ме­ня­ет­ся: ось вра­ще­ния Земли со­хра­ня­ет по­сто­ян­ное на­прав­ле­ние в про­стран­стве (вдоль этой оси на­прав­лен век­тор с еди­нич­ной дли­ной), и в про­цес­се дви­же­ния Земли по ор­би­те Солн­це ока­зы­ва­ет­ся то «выше», то «ниже» эк­ва­то­ри­аль­ной плос­ко­сти по от­но­ше­нию к

На­при­мер, вб­ли­зи по­ло­же­ния лет­не­го солн­це­сто­я­ния сол­неч­ные лучи па­да­ют «свер­ху» под углом к эк­ва­то­ри­аль­ной плос­ко­сти. Тогда об­ласть тени за­кры­ва­ет точки эк­ва­то­ри­аль­ной плос­ко­сти на рас­сто­я­нии не более

от цен­тра Земли. Зна­чит, в этот пе­ри­од ГСС при дви­же­нии по своей ор­би­те не про­хо­дит через об­ласть пол­ной тени. Ана­ло­гич­но об­сто­ит дело вб­ли­зи по­ло­же­ния зим­не­го солн­це­сто­я­ния. Од­на­ко есть мо­мен­ты, когда Солн­це ока­зы­ва­ет­ся вб­ли­зи эк­ва­то­ри­аль­ной плос­ко­сти, и тогда на ГСС про­ис­хо­дят сол­неч­ные за­тме­ния, со­зда­ва­е­мые Зем­лей. По­нят­но, что дли­тель­ность за­тме­ний мак­си­маль­на, когда Солн­це по­па­да­ет точно в эк­ва­то­ри­аль­ную плос­кость. Тогда ГСС пре­одо­ле­ва­ет об­ласть пол­ной тени, ши­ри­на ко­то­рой прак­ти­че­ски равна зем­но­му диа­мет­ру. Если пре­не­бречь кри­виз­ной ор­би­ты ГСС на этом участ­ке (длина ор­би­ты ГСС боль­ше диа­мет­ра Земли более чем в 20 раз), то мак­си­маль­ное время за­тме­ния

Учет кри­виз­ны ор­би­ты не­зна­чи­тель­но из­ме­ня­ет ре­зуль­тат:

Те­перь опре­де­лим пе­ри­о­ды, когда за­тме­ний не бы­ва­ет. Как видно из ниж­не­го ри­сун­ка, ГСС про­хо­дит через об­ласть пол­ной тени, если угол между сол­неч­ны­ми лу­ча­ми и эк­ва­то­ри­аль­ной плос­ко­стью

Вве­дем в Сол­неч­ной Си­сте­ме де­кар­то­вы ко­ор­ди­на­ты: плос­кость (xy)  — плос­кость зем­ной ор­би­ты, при­чем ось x про­хо­дит через по­ло­же­ния солн­це­сто­я­ний. Тогда еди­нич­ный век­тор, на­прав­лен­ный вдоль оси вра­ще­ния Земли, имеет ко­ор­ди­на­ты Вве­дем еще один век­тор с еди­нич­ной дли­ной см. верх­ний ри­су­нок)  — на­прав­лен­ный вдоль ра­ди­у­са ор­би­ты Земли. Не­труд­но за­ме­тить, что его ко­ор­ди­на­ты где   — угол по­во­ро­та Земли от по­ло­же­ния лет­не­го солн­це­сто­я­ния.

Как видно из ниж­не­го ри­сун­ка, угол между этими век­то­ра­ми равен Зна­чит,

По­это­му усло­ви­ем про­хож­де­ния через об­ласть пол­ной тени яв­ля­ет­ся тре­бо­ва­ние

то есть

Зна­чит, в те­че­ние года есть два «пе­ри­о­да без за­тме­ний», дли­тель­ность ко­то­рых

суток. Из­ме­не­ние рас­сто­я­ния между Солн­цем и Зем­лей и из­ме­не­ние ори­ен­та­ции ор­би­ты ГСС по от­но­ше­нию к Солн­цу в те­че­ние года, ко­неч­но же, вли­я­ют на поток сол­неч­ной энер­гии, па­да­ю­щей на спут­ник, од­на­ко для на­ше­го ис­сле­до­ва­ния (в ко­то­ром нас ин­те­ре­су­ет толь­ко то, по­па­да­ет ли в прин­ци­пе сол­неч­ный свет на спут­ник или нет) эти фак­то­ры ока­за­лись не­су­ще­ствен­ны­ми.

Ответ: 69 минут, 137 суток.