Рас­смот­рим про­хож­де­ние лучей через шарик.

Рис. 1

Рис. 2

Пусть луч, па­да­ю­щий на по­верх­ность ша­ри­ка в точке А (см. риc. 1), идет на рас­сто­я­нии b от па­рал­лель­ной ему пря­мой, иду­щей через центр ша­ри­ка, в плос­ко­сти (xy). Тогда угол па­де­ния равен a угол пре­лом­ле­ния По­сколь­ку тре­уголь­ник АОВ рав­но­бед­рен­ный, то угол па­де­ния луча на по­верх­ность шара из­нут­ри равен а угол пре­лом­ле­ния (то есть вы­хо­да по от­но­ше­нию к ра­ди­у­су в точке B) равен

Не­труд­но за­ме­тить, что общий угол по­во­ро­та луча от ис­ход­но­го на­прав­ле­ния равен

Если рас­смат­ри­вать свет как поток фо­то­нов, то сле­ду­ет сде­лать вывод, что их энер­гия не из­ме­ня­ет­ся (в ве­ще­стве шара нет по­гло­ще­ния). Сле­до­ва­тель­но, не из­ме­ня­ет­ся и мо­дуль им­пуль­са. Но тогда из­ме­не­ние им­пуль­са каж­до­го фо­то­на, про­шед­ше­го через шарик, будет равно

Про­ек­ция этого им­пуль­са на ось y, пер­пен­ди­ку­ляр­ную пер­во­на­чаль­но­му на­прав­ле­нию дви­же­нию, равна

и по­это­му шарик при про­хож­де­нии од­но­го фо­то­на по­лу­чит им­пульс от­да­чи, про­ек­ция ко­то­ро­го на ось y

От­ме­тим, что при эти вы­ра­же­ния упро­ща­ют­ся:

Рис. 3

Те­перь об­ра­тим вни­ма­ние, что энер­гия све­то­во­го по­то­ка в пучке рав­но­мер­но рас­пре­де­ле­на по пло­ща­ди по­лу­кру­га, то есть на еди­ни­цу пло­ща­ди в еди­ни­цу вре­ме­ни при­хо­дит­ся энер­гия где P  — мощ­ность све­то­во­го пучка. Рас­смот­рим малую часть пло­ща­ди пучка, огра­ни­чен­ную ин­тер­ва­лом зна­че­ний рас­сто­я­ния от оси и ин­тер­ва­лом зна­че­ний угла от­счи­ты­ва­е­мо­го от оси y, Энер­гия, при­хо­дя­ща­я­ся на эту часть в еди­ни­цу вре­ме­ни, равна

Ясно также, что про­ек­ция им­пуль­са от­да­чи, пе­ре­дан­но­го от этой части све­то­во­го пучка ша­ри­ку в еди­ни­цу вре­ме­ни, на ось, равна

(сила как раз и равна им­пуль­су, пе­ре­да­ва­е­мо­му в еди­ни­цу вре­ме­ни).

Оста­лось по­нять, что у двух встреч­ных пуч­ков x-ком­по­нен­ты сил со­кра­тят­ся (как и ком­по­нен­ты вдоль на­прав­ле­ния, пер­пен­ди­ку­ляр­но­го x и y), a y  — ком­по­нен­ты удво­ят­ся. Тогда ясно, что вклад в общую силу, дей­ству­ю­щую на шарик по оси y, от этой части пло­ща­ди пуч­ков, равен

Сумма по всем воз­мож­ным зна­че­ни­ям и дает:

(участ­ни­ки, зна­ко­мые с ин­те­гри­ро­ва­ни­ем, могут вы­пол­нить эту часть с по­мо­щью него).

Итак, ре­зуль­ти­ру­ю­щая сила на­прав­ле­на пер­пен­ди­ку­ляр­но пуч­кам и равна

Чтобы она урав­но­ве­си­ла вес ша­ри­ка, долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

от­ку­да на­хо­дим:

Ответ:

Ком­мен­та­рий.

Дан­ные этой за­да­чи не со­всем ре­а­ли­стич­ны: со­зда­ние пуч­ков с таким се­че­ни­ем в об­ла­сти рас­по­ло­же­ния ша­ри­ка тех­ни­че­ски про­бле­ма­тич­но. Для этого как ми­ни­мум нужно ис­поль­зо­вать лазер с дли­ной волны, на­мно­го мень­ше 0,2 мкм (за пре­де­ла­ми оп­ти­че­ско­го диа­па­зо­на). Само ве­ще­ство имеет низ­кую плот­ность и вы­со­кий для та­ко­го из­лу­че­ния ко­эф­фи­ци­ент пре­лом­ле­ния. На самом деле под­бор па­ра­мет­ров был осу­ществ­лен таким об­ра­зом, чтобы у участ­ни­ков была воз­мож­ность вос­поль­зо­вать­ся па­рак­си­аль­ным при­бли­же­ни­ем с вы­со­кой точ­но­стью, и из­бе­жать вы­чис­ле­ния слож­но­го ин­те­гра­ла (не­ко­то­рые участ­ни­ки, впро­чем, су­ме­ли спра­вить­ся с ин­те­гри­ро­ва­ни­ем и без ис­поль­зо­ва­ния усло­вия ма­ло­сти углов). В ре­аль­но­сти ана­лиз ра­бо­ты ла­зер­но­го пин­це­та про­во­дит­ся не­сколь­ко слож­нее, но сама идея его ре­а­ли­стич­на  — такие уста­нов­ки дей­стви­тель­но ис­поль­зу­ют­ся и в на­уч­ном экс­пе­ри­мен­те, и в при­клад­ных раз­ра­бот­ках, осо­бен­но в ме­ди­ко­био­ло­ги­че­ской об­ла­сти. В 2018 году за со­зда­ние ла­зер­но­го пин­це­та Артур Ашкин по­лу­чил Но­бе­лев­скую пре­мию по фи­зи­ке.