(«Нелинейный светильник») Как-то на досуге Ф. Д. Ч. Уиллард решил собрать светильник из двух одинаковых ламп, двух одинаковых резисторов и четырех одинаковых аккумуляторов. У него был довольно точный амперметр, и он измерил силу тока в цепи при подключении одной лампы к одному аккумулятору. Она оказалась равной
А.
А.
А.
Начнем с того, как нужно использовать данные задачи. Пусть 
и r — ЭДС и внутреннее сопротивление аккумулятора, а R — сопротивление резистора. Согласно условию, напряжение на лампе можно связать с протекающим через нее током соотношением 
где α — постоянный коэффициент. Тогда при подключении одной лампы 
а при подключении двух
Разделив эти уравнения одно на другое, найдем, что
Подставив значения I1 и I2, найдем, что 
Тогда для подключения резистора: 
то есть
Теперь, используя найденные отношения, запишем уравнения закона Ома для схемы светильника вместе с уравнением непрерывности тока. При этом обозначим токи в ветвях так, как показано на рисунке, и обозначим разность потенциалов точек A и B 
Тогда:
Эта система уравнений позволяет найти все неизвестные, но при аналитическом решении она приводит к уравнению высокой степени, поэтому лучше ее решать именно «в числах». Для этого введем безразмерные переменные 
и 
Учтем также, что
Тогда наша система преобразуется к виду:
Теперь все свелось к решению последнего уравнения для переменной z, а затем через нее выражаются токи через обе лампы. Его можно решить графически, но проще решить его численно — например, с помощью программы Excel, вычислив в соседних колонках значения правой и левой частей уравнения. Тогда найдем, что 
Сам по себе корень можно найти и с большей точностью, но это не имеет особого смысла — токи измерены с точностью около 1%, так что мы и так сохранили два «запасных» порядка для промежуточных вычислений. Теперь легко можно найти, что
и 
(и здесь указаны ошибки вычислений при решении уравнений). Как видно, точность результатов при таком подходе определяется в основном точностью данных измерений. Поэтому для величин токов через лампы (в этих выражениях будем указывать реальную точность) следует принять
и 
Мощность, потребляемая лампой 
и поэтому
Здесь важно понимать, что относительная ошибка в этом результате увеличивается: как видно, само отношение мы находим с точностью чуть лучше 1%, поэтому его куб мы получаем с точностью чуть лучше 3%, поскольку при малых отклонениях
Ответ: 
или это может быть система 4 уравнений Кирхгофа для 4 контурных токов, в которой 5-е засчитывается, хотя и явно не написано (уравнение непрерывности тока в этом случае выполняется автоматически); таким образом за одно правильное уравнение, не включенное ни в какую систему (и «автоматически» выполненные требования отсутствуют), баллы не ставились.