(«Обогреватель») Домик гляциологов на леднике, в котором было только одно помещение, оборудовали обогревателем с автоматической регулировкой и тщательно заделали все щели: можно считать, что при закрытой двери потери тепла происходят только путем теплопроводности. Регулятор нагревательного элемента работает следующим образом: когда температура в домике падает на 2 °C ниже «заданной» температуры, нагревательный элемент включается и работает с постоянной мощностью, зависящей только от заданной регулятору температуры. После достижения этой температуры нагревательный элемент выключается. Гляциолог, долгое время проводящий в домике, обнаружил, что при температуре на улице, равной
интервал времени между двумя включениями нагревателя 
мин,
этот период уже был 
мин.
Считая, что полная теплоемкость домика с содержимым меняется слабо, и что влиянием тепла, выделяемым самим гляциологом, можно пренебречь, определите период включений нагревателя при внешней температуре 
При какой температуре на улице нагреватель перестанет выключаться (если не изменять регулировку)? Каков минимальный период включений нагревателя (из всех возможных при этой регулировке)?
Пусть C — теплоемкость домика с содержимым. От момента, когда нагревательный элемент (НЭ) выключается и до его нового включения спустя время Tост домик отдает тепло 
(здесь 
В тестовой части (вопрос 2) было рассказано о законе Фурье, согласно которому количество теплоты, протекающее в единицу времени через слой вещества постоянного сечения, прямо пропорционально разности температур по разные стороны от него. Значит, мощность оттока тепла в ходе остывания при наружной температуре t равна
где A — некоторая постоянная. Здесь мы пренебрегаем изменением разности температур: для всех заданных значений t выполняется соотношение 
и вносимая ошибка меньше 
Точность можно немного повысить, если при вычислении мощности оттока тепла использовать «среднюю» разность температур — в этом случае
Пока оставим более простое и несколько менее точное выражение. Значит,
Обозначив мощность нагревателя P, для времени обратного нагревания (ясно, что 
находим:
Следовательно, период включений нагревателя
Введем обозначение 
Нетрудно заметить, что это — такое значение внешней температуры, при котором мощности нагревателя хватает только на компенсацию оттока тепла, и нагреватель после включения удерживает температуру постоянной, но не может еe увеличить. Таким образом, при температуре снаружи, меньшей или равной tc, нагреватель перестает выключаться. Из условия ясно, что 
Тогда обратный период включений (эту величину в физике называют частотой) оказывается квадратичной функцией внешней температуры:
График этой функции — парабола с корнями t0 и tc, a между ними есть точка максимума (соответствующая минимальному периоду) 
Ясно, что
Следовательно,
то есть
Это соотношение для температуры t2 позволяет найти tc:
откуда
Теперь легко найти и остальные ответы:
Минимальный период соответствует 
и равен
Если перейти к уточненному результату, то формула для периода будет выглядеть так:
а формула для даст значение
Таким образом, изменение результата чуть более 1%. Другие «уточненные» результаты:
и
(изменение периодов около 0,2%).
Ответ: при внешней температуре 
период 
нагреватель перестанет выключаться при 
минимальный период включений нагревателя 
