сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 21 № 40
i

Не­ве­со­мая па­у­ти­на имеет пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную форму (см. рис., вид свер­ху) и за­креп­ле­на за концы нитей па­рал­лель­но земле. В на­чаль­ный мо­мент па­у­ти­на не рас­тя­ну­та и не про­ви­са­ет. Паук мас­сой m за­би­ра­ет­ся на па­у­ти­ну и оста­нав­ли­ва­ет­ся в её цен­тре, при этом центр про­ги­ба­ет­ся вниз на ве­ли­чи­ну h. Най­ди­те массу паука m. Длина от­рез­ка не­рас­тя­ну­той па­у­тин­ной нити  — l (см. рис.), его ко­эф­фи­ци­ент жест­ко­сти  — k, уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния  — g. Раз­ме­ра­ми паука по срав­не­нию с раз­ме­ра­ми па­у­ти­ны пре­не­бречь.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ис­ко­мую массу паука обо­зна­чим через m. Об­ра­тим вни­ма­ние, что даже в про­гнув­шей­ся па­у­ти­не по­пе­реч­ные нити, об­ра­зу­ю­щие ше­сти­уголь­ни­ки, оста­ют­ся не­рас­тя­ну­ты­ми  — они по­про­сту по­сту­па­тель­но опус­ка­ют­ся вниз.

Дей­стви­тель­но, рас­смот­рим па­у­ти­ну, в ко­то­рой уда­ле­ны все по­пе­реч­ные нити. После того, как паук за­бе­рет­ся в центр такой упрощённой па­у­ти­ны, центр опу­стит­ся на не­ко­то­рую ве­ли­чи­ну. Есте­ствен­но, что ра­ди­аль­ные нити оста­нут­ся при этом пря­мы­ми, а по­ло­же­ние, ко­то­рое займёт паук, будет устой­чи­вым по­ло­же­ни­ем рав­но­ве­сия. Об­ра­тим вни­ма­ние, что при опус­ка­нии цен­тра па­у­ти­ны вниз, рас­сто­я­ния между точ­ка­ми, где кре­пи­лись по­пе­реч­ные нити, оста­нет­ся не­из­мен­ным. Для этого рас­смот­рим какую-ни­будь по­пе­реч­ную нить в любом тре­уголь­ни­ке, об­ра­зо­ван­ном со­сед­ни­ми ра­ди­аль­ны­ми ни­тя­ми (см. рис.). Длина этой нити а x опре­де­ля­ет­ся по­до­би­ем тре­уголь­ни­ков

x=s дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: a плюс b конец дроби .

Когда точка O сдви­га­ет­ся под весом паука, ве­ли­чи­ны a и b из­ме­ня­ют­ся про­пор­ци­о­наль­но  левая круг­лая скоб­ка a arrow гамма a,\; b arrow гамма b пра­вая круг­лая скоб­ка , а ве­ли­чи­на s оста­ет­ся не­из­мен­ной, зна­чит, длина любой по­пе­реч­ной нити x не ме­ня­ет­ся. Вер­нем те­перь по­пе­реч­ные нити об­рат­но. По­сколь­ку они не рас­тя­ну­ты, они никак не вли­я­ют на по­ло­же­ние паука и не из­ме­ня­ют на­тя­же­ние ра­ди­аль­ных нитей. Если те­перь паук сле­зет с па­у­ти­ны, она не­пре­рыв­ным об­ра­зом вернётся в ис­ход­ное со­сто­я­ние.

Таким об­ра­зом, по­пе­реч­ные нити не ока­зы­ва­ют вли­я­ния на си­сте­му, и их на самом деле можно убрать из рас­смот­ре­ния. До­ста­точ­но рас­смот­реть паука мас­сой m, ко­то­ро­го удер­жи­ва­ют шесть ра­ди­аль­ных эла­стич­ных па­у­тин­ных нитей.

По усло­вию за­да­чи па­у­тин­ная нить дли­ной l имеет жёсткость k, то есть под дей­стви­ем силы F рас­тя­ги­ва­ет­ся на \Delta x = дробь: чис­ли­тель: F, зна­ме­на­тель: k конец дроби . Ра­диль­ная па­у­ти­на, со­сто­я­щая из трёх таких кус­ков, под дей­стви­ем силы F рас­тя­нет­ся на \Delta X=3\Delta x (каж­дый ку­со­чек рас­тя­нет­ся на \Delta x). Зна­чит, жёсткость всей ра­ди­аль­ной па­у­ти­ны це­ли­ком равна

K= дробь: чис­ли­тель: F, зна­ме­на­тель: \Delta X конец дроби = дробь: чис­ли­тель: F, зна­ме­на­тель: 3 \Delta x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: F, зна­ме­на­тель: 3 левая круг­лая скоб­ка F / k пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Рас­смот­рим усло­вие рав­но­ве­сия паука в про­ек­ции на вер­ти­каль­ную ось. На вто­ром ри­сун­ке изоб­ра­же­ны две из шести ра­ди­аль­ных нитей сбоку (в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти) в двух по­ло­же­ни­ях: в не­рас­тя­ну­том со­сто­я­нии, и про­гнув­ши­е­ся под весом паука. Угол между про­гнув­шей­ся нитью и вер­ти­ка­лью обо­зна­чим через  альфа , а силу упру­го­сти в длин­ной ра­ди­аль­ной нити  — через F упр.

Из вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на по­лу­ча­ем усло­вие вер­ти­каль­но­го рав­но­ве­сия си­сте­мы:

mg=6F_упр ко­си­нус альфа .\; левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

Найдём F упр. Как видно из ри­сун­ка, длина у рас­тя­ну­той ра­ди­аль­ной нити по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 3 l пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс h в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 l в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс h в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка . Сле­до­ва­тель­но, в ка­ж­жой из шести ра­ди­аль­ных нитей воз­ни­ка­ет сила упру­го­сти

F_ упр =K левая круг­лая скоб­ка y минус 3 l пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 l в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс h в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 l пра­вая круг­лая скоб­ка .\; левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка

Также, не­труд­но из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка найти угол  альфа :

 ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: y конец дроби = дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 l в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс h в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .\; левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка

После под­ста­нов­ки (2, 3) в (1) по­лу­чим

m g=6 дробь: чис­ли­тель: k левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 l в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс h в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 l пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 l в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс h в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби ,

от­ку­да легко по­лу­ча­ем ответ m= дробь: чис­ли­тель: 2 k h, зна­ме­на­тель: g конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 3 l, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 l в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс h в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: m= дробь: чис­ли­тель: 2 k h, зна­ме­на­тель: g конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 3 l, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 l в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та плюс h в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Классификатор: Ме­ха­ни­ка. Сила упру­го­сти