Пусть m₁  — масса части сна­ря­да, по­ра­зив­шей ближ­нюю цель, m₂  — масса части, по­пав­шей в даль­нюю цель. Тогда: m₁ + m₂ = m. Через обо­зна­чим ис­ко­мое время, ко­то­рое про­шло от мо­мен­та вы­стре­ла до мо­мен­та раз­де­ле­ния сна­ря­да на части.

Рас­смот­рим спер­ва дви­же­ние це­ло­го сна­ря­да, каким оно было бы, в слу­чае если бы ар­тил­ле­ри­сты не про­из­ве­ли раз­де­ле­ние на части. В этом слу­чае сна­ряд упал бы на рас­сто­я­нии от места вы­стре­ла через время

Ис­сле­ду­ем те­перь про­цесс раз­де­ле­ния сна­ря­да на части. Во-пер­вых за­ме­тим, что по­сколь­ку пру­жи­на раз­бра­сы­ва­ет части сна­ря­да стро­го в го­ри­зон­таль­ном на­прав­ле­нии, она не ока­зы­ва­ет ни­ка­ко­го вли­я­ния на их дви­же­ние по вер­ти­ка­ли. Это, в част­но­сти, озна­ча­ет, что части сна­ря­да по вер­ти­ка­ли дви­жут­ся син­хрон­но и од­но­вре­мен­но по­ра­жа­ют цели в мо­мент вре­ме­ни T, то есть общее время дви­же­ния в ре­зуль­та­те раз­де­ле­ния не из­ме­ня­ет­ся.

Далее раз­бе­рем­ся, как пру­жи­на из­ме­ня­ет го­ри­зон­таль­ные про­ек­ции ско­ро­стей. Ре­зуль­тат дей­ствия пру­жи­ны удоб­нее всего рас­смат­ри­вать в си­сте­ме от­сче­та, ко­то­рая дви­жет­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью, рав­ной ско­ро­сти сна­ря­да не­по­сред­ствен­но перед раз­де­ле­ни­ем (гори-зон­таль­ная про­ек­ция ско­ро­сти сна­ря­да и нашей си­сте­мы от­сче­та от­но­си­тель­но земли равна ). Обо­зна­чим через u₁ и u₂ ско­ро­сти, ко­то­рые пру­жи­на со­об­ща­ет ча­стям m₁ и m₂ со­от­вет­ствен­но. Из за­ко­нов со­хра­не­ния им­пуль­са и энер­гии имеем:

Решая си­сте­мы из этих двух урав­не­ний, для ско­ро­стей u₁ и u₂ по­лу­ча­ем

где мы ввели обо­зна­че­ние

Воз­вра­ща­ясь в ис­ход­ную си­сте­му от­сче­та, по­лу­ча­ем, что го­ри­зон­таль­ные про­ек­ции ско­ро­стей равны

Те­перь можно на­пи­сать си­сте­му урав­не­ний для на­хож­де­ния ис­ко­мых ве­ли­чин. Для этого рас­смот­рим сме­ще­ния ча­стей сна­ря­да по го­ри­зон­та­ли за все все время по­ле­та. В те­че­ние вре­ме­ни обе части летят с го­ри­зон­таль­ной ско­ро­стью Оста­ток вре­ме­ни части сна­ря­да летят со ско­ро­стя­ми (5). По­сколь­ку, по усло­вию, сна­ря­ды по­ра­зи­ли ми­ше­ни на рас­сто­я­ни­ях L₁ и L₂, по­лу­ча­ем, что

Дан­ную си­сте­му урав­не­ний удоб­но пе­ре­пи­сать в сле­ду­ю­щем виде:

Решая эту си­сте­му урав­не­ний от­но­си­тель­но пе­ре­мен­ных x и и вспо­ми­ная, что по­лу­ча­ем, что сна­ряд не­об­хо­ди­мо раз­де­лить на части в мо­мент вре­ме­ни

Масса части сна­ря­да, по­ра­зив­шей ближ­нюю цель равна

Ответ: Сна­ряд не­об­хо­ди­мо раз­де­лить на части в мо­мент вре­ме­ни, опре­де­ля­е­мый урав­не­ни­ем (6). Вы­ра­же­ние для массы части сна­ря­да, по­ра­зив­шей ближ­нюю цель, дано в урав­не­нии (7). Ве­ли­чи­ны L и T опре­де­ле­ны в (1) и (2) со­от­вет­ствен­но.