Пусть обо­зна­ча­ет со­про­тив­ле­ние еди­ни­цы длины обода у ча­со­во­го ци­фер­бла­та,   — со­про­тив­ле­ние еди­ни­цы длины обода у ми­нут­но­го ци­фер­бла­та. Тогда Обо­зна­чим ра­ди­у­сы ци­фер­бла­тов через a.

Мощ­ность лам­поч­ки ми­ни­маль­на, когда со­про­тив­ле­ние цепи мак­си­маль­но, так как на­пря­же­ние в цепи фик­си­ро­ва­но. Таким об­ра­зом, не­об­хо­ди­мо найти мо­мен­ты вре­ме­ни, когда со­про­тив­ле­ние цепи макси-маль­но. Пусть t обо­зна­ча­ет аб­со­лют­ное время, будем из­ме­рять его в часах. Сле­до­ва­тель­но, нам нужно найти мак­си­мум со­про­тив­ле­ния цепи на ин­тер­ва­ле [0 ч, 12 ч]. Углы по­во­ро­та ча­со­вой и ми­нут­ной стре­лок свя­за­ны с мо­мен­том вре­ме­ни t сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

где фи­гур­ные скоб­ки обо­зна­ча­ют, что нужно от­бро­сить целую часть и рас­смат­ри­вать толь­ко дроб­ную (мы от­бра­сы­ва­ем пол­ные обо­ро­ты ми­нут­ной стрел­ки).

На пер­вом ри­сун­ке изоб­ра­же­на эк­ви­ва­лент­ная схема. Обод каж­до­го ци­фер­бла­та де­лит­ся стрел­кой и кон­так­том лам­поч­ки на 2 части, ко­то­рые под­клю­че­ны друг к другу па­рал­лель­но. В свою оче­редь ми­нут­ный и ча­со­вой обода под­клю­че­ны друг к другу по­сле­до­ва­тель­но. Вы­пи­шем, чему равно элек­три­че­ское со­про­тив­ле­ние дан­ной схемы:

Здесь R₀ обо­зна­ча­ет сум­мар­ное со­про­тив­ле­ние лам­поч­ки, стре­лок и всех со­еди­ни­тель­ных про­во­дов.

По­стро­им схе­ма­тич­но гра­фик за­ви­си­мо­сти от вре­ме­ни вкла­дов в общее со­про­тив­ле­ние цепи от со­про­тив­ле­ний ча­со­во­го и ми­нут­но­го обо­дов (пер­вое и вто­рое сла­га­е­мые в фор­му­ле (2) со­от­вет­ствен­но). Дан­ный гра­фик изоб­ра­жен на вто­ром ри­сун­ке. Общее со­про­тив­ле­ние схемы можно по­лу­чить как сумму двух этих гра­фи­ков. Со­про­тив­ле­ние ча­со­во­го обода пред­став­ля­ет собой па­ра­бо­лу, име­ю­щую нули в мо­мен­ты вре­ме­ни 0 ч и 12 ч. Мак­си­мум этой па­ра­бо­лы при­хо­дит­ся на мо­мент вре­ме­ни t 6 ч. Со­про­тив­ле­ние ми­нут­но­го обода также скла­ды­ва­ет­ся из па­ра­бол. Каж­дая па­ра­бо­ла со­от­вет­ству­ет пол­но­му обо­ро­ту ми­нут­ной стрел­ки в те­че­ние часа.

Об­ра­тим вни­ма­ние, что по­лу­чен­ный гра­фик сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но мо­мен­та вре­ме­ни t  =  6 ч. Эта сим­мет­рия озна­ча­ет, что если мак­си­мум со­про­тив­ле­ния цепи на­блю­да­ет­ся в мо­мент вре­ме­ни то такой же мак­си­мум будет и в мо­мент вре­ме­ни Далее, за­ме­тим, что ис­ко­мые мак­си­му­мы не­об­хо­ди­мо на­хо­дят­ся на ин­тер­ва­ле [5 ч, 7 ч]. Дей­стви­тель­но, вклад от ми­нут­но­го ци­фер­бла­та по­вто­ря­ет­ся каж­дый час, а вклад от ча­со­во­го ци­фер­бла­та за­ве­до­мо мень­ше вне этого ин­тер­ва­ла. Таким об­ра­зом, за­да­чу отыс­ка­ния мак­си­му­ма со­про­тив­ле­ния на ин­тер­ва­ле [0 ч, 12 ч] можно све­сти к за­да­че отыс­ка­ния мак­си­му­ма на ин­тер­ва­ле [6 ч, 7 ч] (мак­си­мум на ин­тер­ва­ле [5 ч, 6 ч] можно потом вос­ста­но­вить из сим­мет­рии).

В связи со всем выше ска­зан­ным, по­ло­жим

При этом вы­ра­же­ния (1) при­мут вид

После под­ста­нов­ки (3) в (2) по­лу­ча­ем, что за­ви­си­мость со­про­тив­ле­ния цепи от вре­ме­ни опи­сы­ва­ет­ся сле­ду­ю­щей про­стой фор­му­лой

Здесь A со­дер­жит все не за­ви­ся­щие от вре­ме­ни мно­жи­те­ли.

Из фор­му­лы (4) видно, что на ин­тер­ва­ле [6 ч, 7 ч] со­про­тив­ле­ние квад­ра­тич­но за­ви­сит от вре­ме­ни Не со­став­ля­ет труда найти мак­си­мум со­от­вет­ству­ю­щей па­ра­бо­лы

Вспо­ми­ная, что, со­глас­но усло­вию, имеем Таким об­ра­зом, учи­ты­вая сим­мет­рию за­да­чи, за­клю­ча­ем, что яр­кость лам­поч­ки будет ми­ни­маль­на, когда часы будут по­ка­зы­вать либо время 5 ч 33 мин, либо 6 ч 27 мин.

Ответ: Яр­кость лам­поч­ки будет ми­ни­маль­на, когда часы будут по­ка­зы­вать либо время 5 ч 33 мин, либо 6 ч 27 мин.