Пер­вое, что не­об­хо­ди­мо ука­зать в ре­ше­нии, что во­ро­бей яв­ля­ет­ся дви­жу­щей­ся си­сте­мой от­сче­та, по­это­му зна­че­ния и на­прав­ле­ния ско­ро­стей, ко­то­рые он на­блю­да­ют  — яв­ля­ют­ся от­но­си­тель­ны­ми.

Можно рас­смот­реть за­да­чу в си­сте­ме от­сче­та во­ро­бья, где он по­ко­ит­ся на месте, а на него летит ядро:

По­лу­ча­ем от­но­си­тель­ную ско­рость:

где   — на­чаль­ная ско­рость ядра,   — ско­рость во­ро­бья,   — ско­рость, ко­то­рую на­блю­да­ет во­ро­бей.

В дан­ной си­сте­ме от­сче­та все фор­му­лы бал­ли­сти­ки будут спра­вед­ли­вы для на­чаль­ной ско­ро­сти в част­но­сти за­ви­си­мость ко­ор­ди­нат от вре­ме­ни:

В усло­вии ска­за­но, что во­ро­бей услы­шал звук вы­стре­ла из пушки через время t₁, зна­чит, рас­сто­я­ние от пушки до во­ро­бья можно вы­ра­зить, как рас­сто­я­ние, ко­то­рое пре­одо­ле­ва­ет звук за дан­ное время. Так как ско­рость во­ро­бья много мень­ше ско­ро­сти звука, то можно пре­не­бречь из­ме­не­ни­ем ско­ро­сти звука при пе­ре­хо­де в дан­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат. Тогда

Те­перь свя­жем от­но­си­тель­ную и соб­ствен­ную ско­рость через про­ек­ции:

Те­перь найдём на каком рас­сто­я­нии при­зем­лит­ся ядро от пушки. В дан­ной си­сте­ме от­сче­та век­тор на­чаль­ной ско­ро­сти со­от­вет­ству­ет

Ответ: