РЕШУ ОЛИМП, физика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4609 Добавить в вариант

Тепловая машина работает по циклу, состоящему из двух изобар и двух изохор. Определите, какой максимальный КПД возможен у данной машины, если отношение максимальной к минимальной температуре равно 4. В качестве рабочего газа используется гелий.

Спрятать решение

Решение.

Изобразим цикл данной машины в P−V координатах:

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для максимальной и минимальной температуры:

$P_0 V_0=v R T_0,\quad P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка .$

Выразим работу в данном цикле:

$A= левая круглая скобка P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус P_0 правая круглая скобка левая круглая скобка V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус V_0 правая круглая скобка =P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус P_0 V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка V_0 плюс P_0 V_0 =$
$=v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус v R T_0 дробь: числитель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: V_0 конец дроби минус v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка дробь: числитель: V_0, знаменатель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка конец дроби плюс v R T_0=v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: V_0, знаменатель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс v R T_0 левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: V_0 конец дроби правая круглая скобка .$ $A= левая круглая скобка P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус P_0 правая круглая скобка левая круглая скобка V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус V_0 правая круглая скобка =P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус P_0 V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка V_0 плюс P_0 V_0 =$
$=v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус v R T_0 дробь: числитель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: V_0 конец дроби минус v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка дробь: числитель: V_0, знаменатель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка конец дроби плюс v R T_0=$
$=v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: V_0, знаменатель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс v R T_0 левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: V_0 конец дроби правая круглая скобка .$ $A= левая круглая скобка P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус P_0 правая круглая скобка левая круглая скобка V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус V_0 правая круглая скобка =$
$=P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус P_0 V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка V_0 плюс P_0 V_0 =$
$=v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус v R T_0 дробь: числитель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: V_0 конец дроби минус v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка дробь: числитель: V_0, знаменатель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка конец дроби плюс v R T_0=$
$=v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: V_0, знаменатель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс v R T_0 левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: V_0 конец дроби правая круглая скобка .$

Теперь выразим количество получаемой теплоты в данном цикле:

$Q=Q_12 плюс Q_23 =\Delta U_12 плюс A_23 плюс \Delta U_23=\Delta U_13 плюс A_23= дробь: числитель: i, знаменатель: 2 конец дроби v R левая круглая скобка T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус T_0 правая круглая скобка плюс P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус V_0 правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби v R левая круглая скобка T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус T_0 правая круглая скобка плюс v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: V_0, знаменатель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби v R T_0.$ $Q=Q_12 плюс Q_23 =\Delta U_12 плюс A_23 плюс \Delta U_23=$
$=\Delta U_13 плюс A_23= дробь: числитель: i, знаменатель: 2 конец дроби v R левая круглая скобка T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус T_0 правая круглая скобка плюс P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус V_0 правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби v R левая круглая скобка T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус T_0 правая круглая скобка плюс v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: V_0, знаменатель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби v R T_0.$ $Q=Q_12 плюс Q_23 =\Delta U_12 плюс A_23 плюс \Delta U_23=$
$=\Delta U_13 плюс A_23= дробь: числитель: i, знаменатель: 2 конец дроби v R левая круглая скобка T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус T_0 правая круглая скобка плюс P в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус V_0 правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби v R левая круглая скобка T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус T_0 правая круглая скобка плюс v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка минус v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =$
$=v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: V_0, знаменатель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби v R T_0.$

Получаем, что КПД:

$\eta= дробь: числитель: A, знаменатель: Q конец дроби = дробь: числитель: v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: V_0, знаменатель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс v R T_0 левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: V_0 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: v R T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: V_0, знаменатель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби v R T_0 конец дроби = дробь: числитель: T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: V_0, знаменатель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка плюс T_0 левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: V_0 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: V_0, знаменатель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби T_0 конец дроби .$

Введем обозначение $x= дробь: числитель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: V_0 конец дроби$ и $k= дробь: числитель: T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: T_0 конец дроби ,$ тогда:

$\eta= дробь: числитель: k левая круглая скобка 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка плюс 1 минус x, знаменатель: k левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби .$

Максимум этой функции по параметру x можно найти любым способом (например, взятием производной или упрощением выражение и применением неравенства Коши).

Максимум КПД $\eta=0,16$ получается при $x=1,84.$

Ответ: 1,84.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Указано, в каких точках цикла достигается максимальная и минимальная температура	3 балла
Записана работа газа за цикл или полная теплота, поглощённая газом за цикл	3 балла
Записано выражение для КПД, зависящее только от отношения максимальной к минимальной температур и от отношение максимального и минимального объёма газа за цикл	5 баллов
Найдено максимальное значение КПД	9 баллов

Всероссийская олимпиада школьников Высшая проба, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: МКТ и термодинамика. Циклические процессы. КПД цикла

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь