РЕШУ ОЛИМП, физика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4610 Добавить в вариант

Бесконечная линия состоит из идеальных диодов с напряжением открытия, равным V (вольт-амперная характеристика диода представлена на рисунке), а также резисторов с сопротивлением $R_n= дробь: числитель: R, знаменатель: n конец дроби ,$ где n  — номер звена линии, смотри рисунок. Найдите вольт-амперную характеристику всей цепи. Какой приближённой формулой её можно описать при больших напряжениях $U \gg V?$

Спрятать решение

Решение.

Полный ток, протекающий через цепь, равен сумме токов I_n, которые протекают через звенья линии. Напряжение на резисторе № n равно $U_n=U минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка V.$ Таким образом,

$I=\sum I_n=\sum дробь: числитель: U_n, знаменатель: R_n конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: R конец дроби \sum n левая круглая скобка U минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка V правая круглая скобка . \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

В уравнении (1) суммирование надо производить с $n=1$ до $n=N,$ где целое N определяется неравенствами

$дробь: числитель: U, знаменатель: V конец дроби меньше N меньше дробь: числитель: U, знаменатель: V конец дроби плюс 1, \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

что можно переписать как

$N= левая квадратная скобка дробь: числитель: U, знаменатель: V конец дроби правая квадратная скобка , \qquad левая круглая скобка 3 правая круглая скобка$

где функция [x] округляет x до ближайшего целого вверх. Пользуемся следующими формулами для суммирования:

$\sum_1 в степени левая круглая скобка N правая круглая скобка n=\sum_0 в степени левая круглая скобка N правая круглая скобка n= дробь: числитель: N левая круглая скобка N плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $\sum_1 в степени левая круглая скобка N правая круглая скобка n в квадрате =\sum_0 в степени левая круглая скобка N правая круглая скобка n в квадрате = дробь: числитель: N левая круглая скобка N плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка N плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби , \qquad левая круглая скобка 4 правая круглая скобка$

и получаем из уравнения (1) с подстановкой N из формулы (3) значение вольт-амперной характеристики данной схемы:

$I= дробь: числитель: V, знаменатель: 6 R конец дроби левая круглая скобка 1 плюс левая квадратная скобка дробь: числитель: U, знаменатель: V конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс левая квадратная скобка дробь: числитель: U, знаменатель: V конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3 U, знаменатель: V конец дроби минус 2 левая квадратная скобка дробь: числитель: U, знаменатель: V конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка . \qquad левая круглая скобка 5 правая круглая скобка$

При $U \gg V$ можно положить $левая квадратная скобка дробь: числитель: U, знаменатель: V конец дроби правая квадратная скобка = дробь: числитель: U, знаменатель: V конец дроби$ и пренебречь членами порядка единицы около $дробь: числитель: U, знаменатель: V конец дроби$ (так как $дробь: числитель: U, знаменатель: V конец дроби \gg 1 правая круглая скобка ,$ так что вольт-амперной характеристикой для больших напряжений будет следующее выражение:

$I= дробь: числитель: U в кубе , знаменатель: 6 R V в квадрате конец дроби . \qquad левая круглая скобка 6 правая круглая скобка$

Ответ: $I= дробь: числитель: V, знаменатель: 6 R конец дроби левая круглая скобка 1 плюс левая квадратная скобка дробь: числитель: U, знаменатель: V конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс левая квадратная скобка дробь: числитель: U, знаменатель: V конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3 U, знаменатель: V конец дроби минус 2 левая квадратная скобка дробь: числитель: U, знаменатель: V конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка ;$ $I= дробь: числитель: U в кубе , знаменатель: 6 R V в квадрате конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Верно определено напряжение на каждом резисторе	5 баллов
Записан ток через систему в виде суммы	2 балла
Правильно расставлены пределы суммы	3 балла
Правильно подсчитана сумма n	3 балла
Правильно подсчитана сумма n²	3 балла
Получен верный ответ для вольт-амперной характеристики схемы (в любом виде без суммы)	4 балла
Получен верный ответ для вольт-амперной характеристики при большом напряжении	4 балла

Всероссийская олимпиада школьников Высшая проба, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Электродинамика. Электрические цепи с диодами

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь