Введём ось y, на­прав­лен­ную вверх с нулём на уров­не под­бра­сы­ва­ния ша­ри­ка. За­пи­шем урав­не­ние дви­же­ния для ша­ри­ка (оно спра­вед­ли­во пока ско­рость ша­ри­ка на­прав­ле­на вверх):

Тут   — пока не­из­вест­ный ко­эф­фи­ци­ент про­пор­ци­о­наль­но­сти между силой и квад­ра­том ско­ро­сти. По­про­бу­ем оце­нить его ме­то­дом раз­мер­но­стей.

Этот ко­эф­фи­ци­ент дол­жен за­ви­сеть от гео­мет­рии ша­ри­ка и от свойств воз­ду­ха. В нашей за­да­че всего три па­ра­мет­ра, от ко­то­рых может за­ви­сеть этот ко­эф­фи­ци­ент: плот­ность воз­ду­ха (чем плот­нее воз­дух, тем, ка­жет­ся на пер­вый взгляд, слож­нее через него ле­теть), вяз­кость воз­ду­ха (чем боль­ше ко­эф­фи­ци­ент вяз­ко­сти, тем боль­ше сила со­про­тив­ле­ния) и раз­мер ша­ри­ка (у боль­ше­го ша­ри­ка боль­шая сила со­про­тив­ле­ния, так как он вза­и­мо­дей­ству­ет с боль­шей пло­ща­дью и объёмом воз­ду­ха).

Таким об­ра­зом, Раз­мер­ность ко­эф­фи­ци­ен­та, с одной сто­ро­ны, вос­ста­нав­ли­ва­ет­ся из урав­не­ния (1)  — его про­из­ве­де­ние с квад­ра­том ско­ро­сти имеет раз­мер­ность силы. C дру­гой сто­ро­ны, раз­мер­ность ко­эф­фи­ци­ен­та по­лу­ча­ет­ся пе­ре­мно­же­ни­ем раз­мер­но­стей (в со­от­вет­ству­ю­щих сте­пе­нях) па­ра­мет­ров, от ко­то­рых он за­ви­сит. Мы за­ра­нее не знаем, как вы­ра­жа­ет­ся β через па­ра­мет­ры (R, η, ρ), по­это­му по­ло­жим, что Тогда для раз­мер­но­стей будет сле­ду­ю­щее со­от­но­ше­ние:

Вос­ста­нав­ли­вая раз­мер­ность из вы­ра­же­ния (1) и под­став­ляя раз­мер­но­сти осталь­ных ве­ли­чин в вы­ра­же­ние (2), по­лу­ча­ем:

Так как в нашей си­сте­ме еди­ниц еди­ни­цы кг, м и с не­за­ви­си­мы друг от друга, мы можем из урав­не­ния (3) со­ста­вить 3 урав­не­ния, при­рав­ни­вая сте­пе­ни перед кг, м и с со­от­вет­ствен­но в левой и пра­вой ча­стях урав­не­ния. Тогда мы по­лу­чим

Решая эту си­сте­му, по­лу­ча­ем ко­эф­фи­ци­ен­ты

то есть урав­не­ние дви­же­ния пе­ре­пи­шет­ся в виде

где C  — не­ко­то­рая кон­стан­та по­ряд­ка еди­ни­цы, ко­то­рую мы не можем по­лу­чить ме­то­дом раз­мер­но­стей.

По­де­лим урав­не­ние (6) на массу ша­ри­ка, по­счи­тан­ную как объём, по­мно­жен­ный на плот­ность ша­ри­ка. Чис­ло­вую кон­стан­ту ко­то­рая по­ряд­ка еди­ни­цы, мы пи­сать не будем, по­то­му что это не до­ба­вит точ­но­сти от­ве­ту: все кон­стан­ты по­ряд­ка еди­ни­цы «сидят» внут­ри кон­стан­ты C.

Из урав­не­ния (7) видно, что не­точ­ность из­ме­ре­ния уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния будет по­ряд­ка где V  — не­ко­то­рая ха­рак­тер­ная ско­рость дви­же­ния шара. По­ло­жим её рав­ной на­чаль­ной ско­ро­сти дви­же­ния, ко­то­рую можно по­лу­чить из вы­со­ты подъёма в выс­шую точку: (двой­кой в ко­неч­ном от­ве­те тоже, ко­неч­но, пре­не­брежём). Для подсчёта от­ве­та возьмём

Тогда  кг/м³:

Ответ: