1)  За­да­чу можно рас­смат­ри­вать в рам­ках тер­мо­ди­на­ми­ки, по ана­ло­гии с трёхмер­ным иде­аль­ным газом. Тогда на­чаль­ное со­сто­я­ние, в ко­то­ром каж­дая шайба дви­га­лись с оди­на­ко­вы­ми по мо­ду­лю ско­ро­стя­ми, сле­ду­ет на­звать не­рав­но­вес­ным со­сто­я­ни­ем. А со­сто­я­ние дву­мер­но­го газа шайб через боль­шое время  — рав­но­вес­ным. По­ми­мо этого, сле­ду­ет за­ме­тить, что дву­мер­ный газ шайб  — иде­аль­ный газ, так как все со­уда­ре­ния про­ис­хо­дят упру­гим об­ра­зом. Также можно вве­сти по­ня­тия сте­пе­ней сво­бо­ды для каж­дой шайбы. У каж­дой шайбы есть три сте­пе­ни сво­бо­ды: две по­сту­па­тель­ных и одна вра­ща­тель­ная  — во­круг оси шайбы. В про­цес­се пе­ре­хо­да в тер­мо­ди­на­ми­че­ское рав­но­ве­сия шайбы будут стал­ки­вать­ся, рас­пре­де­ляя сум­мар­ную на­чаль­ную энер­гию всех шайб по сте­пе­ням сво­бо­ды каж­дой шайбы.

По тео­ре­ме о рав­но­рас­пре­де­ле­нии энер­гии по сте­пе­ням сво­бо­ды можно за­клю­чить, что на вра­ща­тель­ные сте­пе­ни сво­бо­ды будет при­хо­дить­ся треть всей энер­гии в со­сто­я­нии тер­мо­ди­на­ми­че­ско­го рав­но­ве­сия, а на по­сту­па­тель­ные  — две трети:

ответ:

2)  При мед­лен­ном рас­ши­ре­нии пла­не­ты про­ис­хо­дит адиа­ба­ти­че­ское рас­ши­ре­ние газа шайб. Так как газ иде­аль­ный, для него спра­вед­ли­во урав­не­ние Мен­де­ле­е­ва-Клай­пе­ро­на в виде:

где S  — это пло­щадь пла­не­ты (ана­лог объёма для трёхмер­но­го иде­аль­но­го газа), σ — сила на еди­ни­цу длины (ана­лог дав­ле­ния  — силы на еди­ни­цу пло­ща­ди), а тем­пе­ра­ту­ра опре­де­ля­ет­ся как сред­няя энер­гия, при­хо­дя­ща­я­ся на 1 сте­пень сво­бо­ды газа:

Здесь k_Б  — кон­стан­та Больц­ма­на. Для адиа­ба­ти­че­ско­го про­цес­са над иде­аль­ным газом спра­вед­ли­ва фор­му­ла адиа­ба­ты в виде

(для иде­аль­но­го трёхмер­но­го газа фор­му­ла была бы В этой фор­му­ле γ — по­ка­за­тель адиа­ба­ты газа. Он равен где i  — ко­ли­че­ство сте­пе­ней сво­бо­ды одной шайбы, в нашем слу­чае Объ­еди­няя фор­му­лы (3) и фор­му­лу (4), счи­тая по­ка­за­тель адиа­ба­ты для нашей за­да­чи, по­лу­ча­ем усло­вие на не­из­мен­ность сле­ду­ю­щей ве­ли­чи­ны:

Пло­щадь пла­не­ты про­пор­ци­о­наль­на квад­ра­ту её ра­ди­у­са Под­став­ляя эту за­ви­си­мость в урав­не­ние (5), по­лу­ча­ем

Из этого урав­не­ние на­хо­дим от­но­ше­ние сред­ней ки­не­ти­че­ской энер­гии по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния после рас­ши­ре­ния к энер­гии до:

3)  Если пла­не­та рас­ши­ря­ет­ся быст­ро, то такой про­цесс не­рав­но­вес­ный, а по­то­му за­пи­сы­вать для него урав­не­ние адиа­ба­ты нель­зя (в своём вы­во­де оно под­ра­зу­ме­ва­ет, что про­цесс ква­зи­ста­ци­о­нар­ный, что зна­чит, что про­цесс про­хо­дит так мед­лен­но, что в каж­дый мо­мент вре­ме­ни можно счи­тать газ на­хо­дя­щим­ся в тер­мо­ди­на­ми­че­ском рав­но­ве­сии).

Можно, од­на­ко, рас­смот­реть дру­гие не­из­ме­ня­ю­щи­е­ся ве­ли­чи­ны. Оши­боч­но было бы счи­тать, что дан­ной ве­ли­чи­ной вы­сту­па­ет энер­гия, так как су­ще­ству­ет сила, со­вер­ша­ю­щая ра­бо­ту над газом  — сила ре­ак­ции пла­не­ты.

Со­хра­ня­ю­щи­ми­ся ве­ли­чи­на­ми яв­ля­ют­ся мо­мен­ты им­пуль­са по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния каж­дой шайбы от­но­си­тель­но цен­тра пла­не­ты. Дей­стви­тель­но, на каж­дую шайбу дей­ству­ет две внеш­ние по от­но­ше­нию к газу силы: сила тя­же­сти и сила ре­ак­ции пла­не­ты, на­прав­ле­ния ко­то­рых про­хо­дят через центр пла­не­ты. Если u_i  — ско­рость не­ко­то­рой шайбы № i, то мо­мент им­пуль­са е по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния равен

Если ра­ди­ус пла­не­ты уве­ли­чил­ся в 2 раза, то ско­рость по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния каж­дой шайбы упала в 2 раза. Зна­чит, ки­не­ти­че­ская энер­гия к концу про­цес­са рас­ши­ре­ния упала в 4 раза:

Ответ: