сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 4633
i

Не­про­во­дя­щая спица имеет форму по­ло­ви­ны окруж­но­сти. На ее кон­цах A и B за­креп­ле­ны два оди­на­ко­вых за­ря­да. На спицу на­де­ли ма­лень­кую за­ря­жен­ную бу­син­ку и от­пу­сти­ли ее на рас­сто­я­нии h от линии AB, рав­ном  дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби от ра­ди­у­са окруж­но­сти, об­ра­зо­ван­ной спи­цей. При каком ми­ни­маль­ном ко­эф­фи­ци­ен­те тре­ния между бу­син­кой и спи­цей бу­син­ка не будет сколь­зить по ее по­верх­но­сти? Силой тя­же­сти пре­не­бречь. От­вер­стие в бу­син­ке до­ста­точ­но ве­ли­ко, чтобы при от­сут­ствии за­ря­дов она могла сколь­зить, прак­ти­че­ски не ис­пы­ты­вая тре­ния. Все за­ря­ды од­но­го знака. Ответ при­ве­ди­те с точ­но­стью 2 зна­ча­щих цифр.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При­мем диа­метр спицы AB=d. На бу­син­ку со сто­ро­ны за­ря­да в точке А и В дей­ству­ют силы

F_1= дробь: чис­ли­тель: k Q q, зна­ме­на­тель: d в квад­ра­те синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби , F_2= дробь: чис­ли­тель: k Q q, зна­ме­на­тель: d в квад­ра­те ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Нор­ма­лью к по­верх­но­сти спицы яв­ля­ет­ся ра­ди­ус ОС, угол \angle B C O= альфа , a \angle A C O=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус альфа . Вто­рой закон Нью­то­на для нор­маль­но­го к по­верх­но­сти спицы на­прав­ле­ния

F_1 синус левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка плюс F_2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка минус N=0,

где N  — ре­ак­ция опоры. Вто­рой закон Нью­то­на для на­прав­ле­ния вдоль по­верх­но­сти спицы при от­сут­ствии сколь­же­ния

F_2 синус левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка минус F_1 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка минус F_тр=0,

где сила тре­ния \left|F_тр| мень­ше или равно \mu N. При кри­ти­че­ском \mu сила тре­ния \left|F_тр|=\mu_\min N. Под­ста­вив в это ра­вен­ство зна­че­ния Fтр и N, и со­кра­тив общие мно­жи­те­ли, по­лу­чим

 \left| дробь: чис­ли­тель: синус левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби |=\mu_\min левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,

\left| синус в кубе левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус в кубе левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка |=\mu_\min синус левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка ,

от­ку­да

\quad \mu_\min боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: \left| тан­генс в кубе левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1|, зна­ме­на­тель: тан­генс левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка тан­генс левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Не­об­хо­ди­мый ко­эф­фи­ци­ент тре­ния \mu_\min = дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 30 конец дроби \approx 0,63.

Из усло­вия за­да­чи

 дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: тан­генс левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби плюс h умно­жить на тан­генс левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка =2 R,

от­ку­да  тан­генс левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , так что ми­ни­маль­но не­об­хо­ди­мый ко­эф­фи­ци­ент тре­ния \mu_\min = дробь: чис­ли­тель: 19, зна­ме­на­тель: 30 конец дроби \approx 0,63.

 

Ответ: 0,63.

Классификатор: Элек­тро­ди­на­ми­ка. Закон Ку­ло­на