Вопрос: При выполнении каких условий твердое тело может находиться в состоянии покоя под действием трех сил, линии действия которых не параллельны?
Задача: «Гантель» из легкого жесткого стержня и двух массивных маленьких шариков одинакового радиуса положили в гладкую полусферическую «ямку». Длина стержня в раз больше радиуса ямки. Оказалось, что гантель находится в равновесии, если радиус, проведенный к первому шарику, составляет угол с вертикалью. Найти отношение масс шариков.
Ответ на вопрос. Условия равновесия твердого тела требуют равенства нулю векторной суммы всех приложенных к телу сил и суммы моментов этих сил: Для случая трех непараллельных сил, линии действия которых лежат в одной плоскости, последнее требование можно сделать более наглядным: если выбрать для подсчета моментов ось, проходящую через точку пересечения линий действия двух сил, то моменты этой пары сил равны нулю, и поэтому должен быть равен нулю и момент третьей силы, и поэтому ее линия действия должна проходить через ту же точку! Итак, в этом случае линии действия всех трех сил должны пересекаться в одной точке.
Решение задачи. На стержень с шариками действуют силы нормальной реакции поверхности «ямки». Ясно, что линии их действия — радиусы сферы, и они пересекаются в центре сферической поверхности (точка O). В роли третьей силы здесь выступает равнодействующая сил тяжести шариков. Ее точка приложения — центр масс, а линия ее действия вертикальна и (как следует из ответа на вопрос) проходит через точку O. Таким образом, центр масс гантели — точка С. Значит, Кроме того, соотношение между длиной стержня и радиусом позволяет определить угол при вершине O в треугольнике OAB: это равнобедренный треугольник с основанием в раз больше боковой стороны, и он является прямоугольным, а углы при основании равны Из теоремы синусов получим, что
и
поэтому
Ответ: