сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 4978
i

Во­прос: При вы­пол­не­нии каких усло­вий твер­дое тело может на­хо­дить­ся в со­сто­я­нии покоя под дей­стви­ем трех сил, линии дей­ствия ко­то­рых не па­рал­лель­ны?

За­да­ча: «Ган­тель» из лег­ко­го жест­ко­го стерж­ня и двух мас­сив­ных ма­лень­ких ша­ри­ков оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са по­ло­жи­ли в глад­кую по­лу­сфе­ри­че­скую «ямку». Длина стерж­ня в  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та раз боль­ше ра­ди­у­са ямки. Ока­за­лось, что ган­тель на­хо­дит­ся в рав­но­ве­сии, если ра­ди­ус, про­ве­ден­ный к пер­во­му ша­ри­ку, со­став­ля­ет угол  альфа =30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка с вер­ти­ка­лью. Найти от­но­ше­ние масс ша­ри­ков.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ответ на во­прос. Усло­вия рав­но­ве­сия твер­до­го тела тре­бу­ют ра­вен­ства нулю век­тор­ной суммы всех при­ло­жен­ных к телу сил и суммы мо­мен­тов этих сил: \sum_i \vecF_i=0, \sum_i M_i=0. Для слу­чая трех не­па­рал­лель­ных сил, линии дей­ствия ко­то­рых лежат в одной плос­ко­сти, по­след­нее тре­бо­ва­ние можно сде­лать более на­гляд­ным: если вы­брать для под­сче­та мо­мен­тов ось, про­хо­дя­щую через точку пе­ре­се­че­ния линий дей­ствия двух сил, то мо­мен­ты этой пары сил равны нулю, и по­это­му дол­жен быть равен нулю и мо­мент тре­тьей силы, и по­это­му ее линия дей­ствия долж­на про­хо­дить через ту же точку! Итак, в этом слу­чае линии дей­ствия всех трех сил долж­ны пе­ре­се­кать­ся в одной точке.

Ре­ше­ние за­да­чи. На стер­жень с ша­ри­ка­ми дей­ству­ют силы нор­маль­ной ре­ак­ции по­верх­но­сти «ямки». Ясно, что линии их дей­ствия  — ра­ди­у­сы сферы, и они пе­ре­се­ка­ют­ся в цен­тре сфе­ри­че­ской по­верх­но­сти (точка O). В роли тре­тьей силы здесь вы­сту­па­ет рав­но­дей­ству­ю­щая сил тя­же­сти ша­ри­ков. Ее точка при­ло­же­ния  — центр масс, а линия ее дей­ствия вер­ти­каль­на и (как сле­ду­ет из от­ве­та на во­прос) про­хо­дит через точку O. Таким об­ра­зом, центр масс ган­те­ли  — точка С. Зна­чит,  дробь: чис­ли­тель: m_1, зна­ме­на­тель: m_2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: |C B|, зна­ме­на­тель: |C A| конец дроби . Кроме того, со­от­но­ше­ние между дли­ной стерж­ня и ра­ди­у­сом поз­во­ля­ет опре­де­лить угол при вер­ши­не O в тре­уголь­ни­ке OAB: это рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем в  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та раз боль­ше бо­ко­вой сто­ро­ны, и он яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным, а углы при ос­но­ва­нии равны  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Из тео­ре­мы си­ну­сов по­лу­чим, что

|A C|= синус левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: |O C|, зна­ме­на­тель: синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби

и

|B C|= синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: |O C|, зна­ме­на­тель: синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: |O C|, зна­ме­на­тель: синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби ,

по­это­му  дробь: чис­ли­тель: m_1, зна­ме­на­тель: m_2 конец дроби =\ctg левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: m_1, зна­ме­на­тель: m_2 конец дроби =\ctg левая круг­лая скоб­ка альфа пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Для во­про­сов:

Есть от­дель­ные пра­виль­ные со­об­ра­же­ния  — 1 балл.

Ответ в целом пра­ви­лен, но со­дер­жит су­ще­ствен­ные не­точ­но­сти, или су­ще­ствен­но не­по­лон, или от­сут­ству­ет обос­но­ва­ние (для во­про­сов, в ко­то­рых не­об­хо­ди­мо обос­но­ва­ние)  — 2 балла.

Ответ пра­ви­лен, но при­сут­ству­ют мел­кие не­точ­но­сти, или ответ не­до­ста­точ­но полон, или от­сут­ству­ет до­ста­точ­ное обос­но­ва­ние (для во­про­сов, в ко­то­рых не­об­хо­ди­мо обос­но­ва­ние)  — 3 балла.

Ответ пол­но­стью пра­виль­ный, но не­до­ста­точ­но обос­но­ван­ный (для во­про­сов, в ко­то­рых не­об­хо­ди­мо обос­но­ва­ние)  — 4 балла.

Пра­виль­ный, пол­ный и обос­но­ван­ный ответ  — 5 бал­лов (мак­си­маль­ная оцен­ка).

 

Для задач:

Есть от­дель­ные пра­виль­ные со­об­ра­же­ния  — 1−2 балла.

Есть часть не­об­хо­ди­мых для ре­ше­ния со­об­ра­же­ний, ре­ше­ние не за­кон­че­но или со­дер­жит се­рьез­ные ошиб­ки  — 3−4 балла.

При­сут­ству­ет боль­шая часть не­об­хо­ди­мых для ре­ше­ния со­об­ра­же­ний, пра­виль­но за­пи­са­на часть не­об­хо­ди­мых со­от­но­ше­ний, ре­ше­ние не за­кон­че­но или со­дер­жит ошиб­ки  — 5−7 бал­лов.

При­сут­ству­ют все не­об­хо­ди­мые для ре­ше­ния со­об­ра­же­ния, пра­виль­но за­пи­са­ны почти все не­об­хо­ди­мые для ре­ше­ния ис­ход­ные урав­не­ния, но ре­ше­ние не за­кон­че­но или со­дер­жит ошиб­ки  — 8−10 бал­лов.

При­сут­ству­ют все не­об­хо­ди­мые для ре­ше­ния со­об­ра­же­ния, пра­виль­но за­пи­са­ны все не­об­хо­ди­мые для ре­ше­ния ис­ход­ные урав­не­ния, ре­ше­ние вы­стро­е­но пра­виль­но с фи­зи­че­ской и ло­ги­че­ской точки зре­ния, но со­дер­жит ошиб­ки  —11−14 бал­лов.

При­сут­ству­ют все не­об­хо­ди­мые для ре­ше­ния со­об­ра­же­ния, пра­виль­но за­пи­са­ны все не­об­хо­ди­мые для ре­ше­ния ис­ход­ные урав­не­ния, ре­ше­ние вы­стро­е­но пра­виль­но с фи­зи­че­ской и ло­ги­че­ской точки зре­ния, но со­дер­жит одну-две мел­кие не­точ­но­сти, не поз­во­лив­шие по­лу­чить пра­виль­ный ответ, или пра­виль­ное ре­ше­ние с не­до­ста­точ­ным обос­но­ва­ни­ем су­ще­ствен­ных ис­поль­зо­ван­ных ре­зуль­та­тов  — 15−17 бал­лов.

Пра­виль­ное обос­но­ван­ное ре­ше­ние с вер­ным ана­ли­ти­че­ским от­ве­том, но мел­кой не­точ­но­стью при по­лу­че­нии чис­лен­но­го от­ве­та, либо пра­виль­ное ре­ше­ние с пра­виль­ны­ми от­ве­та­ми с не­до­ста­точ­ным обос­но­ва­ни­ем од­но­го из ис­поль­зо­ван­ных ре­зуль­та­тов (из числа не клю­че­вых для ре­ше­ния, но не­об­хо­ди­мых)  — 18−19 бал­лов.

Пол­ное, пра­виль­ное, обос­но­ван­ное ре­ше­ние с пра­виль­ны­ми от­ве­та­ми  — 20 бал­лов (мак­си­маль­ная оцен­ка).

Классификатор: Ме­ха­ни­ка. Ста­ти­ка. Рав­но­ве­сие вращ. и невращ. тел