сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 21 № 53
i

В вер­ти­каль­но рас­по­ло­жен­ном со­су­де под порш­нем на­хо­дит­ся \nu = 0,96 молей иде­аль­но­го од­но­атом­но­го газа. Стен­ки со­су­да теп­ло­изо­ли­ро­ва­ны, а пор­шень  — на­о­бо­рот, легко про­во­дит тепло. Свер­ху пор­шень пред­став­ля­ет собой сол­неч­ную ба­та­рею, пре­об­ра­зу­ю­щую свет в элек­тро­энер­гию с КПД \eta; вся осталь­ная, не­пре­об­ра­зо­ван­ная энер­гия света на­гре­ва­ет порш­нень и газ. За­ви­си­мость КПД сол­неч­ной ба­та­реи от её тем­пе­ра­ту­ры по­ка­за­на на гра­фи­ке. Пер­во­на­чаль­но газ имел тем­пе­ра­ту­ру T0  =  20 °C, затем пор­шень свер­ху осве­ти­ли, и на него стало по­па­дать из­лу­че­ние мощ­но­стью W  =  6 Ватт. По­лу­чен­ное с по­мо­щью сол­неч­ной ба­та­реи элек­три­че­ство на­прав­ле­но в элек­тро­дви­га­тель, ко­то­рый со­вер­ша­ет ра­бо­ту над порш­нем по сжа­тию газа. Как ме­ня­ет­ся со вре­ме­нем тем­пе­ра­ту­ра газа? Опре­де­ли­те теплоёмкость газа в таком про­цес­се как функ­цию вре­ме­ни и по­строй­те её гра­фик. От­ра­же­ни­ем света от сол­неч­ной ба­та­реи и теп­ло­вы­ми по­те­ря­ми в окру­жа­ю­щую среду пре­не­бречь. Счи­тать, что элек­тро­дви­га­тель ра­бо­та­ет без по­терь. Теплоёмко­стью порш­ня пре­не­бречь.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Для удоб­ства введём ве­ли­чи­ну \tilde\eta=\eta / 100 \%.

За про­ме­жу­ток \Delta t на сол­неч­ную ба­та­рею по­па­да­ет све­то­вая энер­гия W \Delta t. Часть её, рав­ная \tilde\etaW\Delta t, пре­об­ра­зу­ет­ся в ра­бо­ту элек­тро­дви­га­те­ля \Delta A_э, а осталь­ная часть, рав­ная  левая круг­лая скоб­ка 1 минус \tilde\eta пра­вая круг­лая скоб­ка W\Delta t, пе­ре­даётся газу в виде тепла \Delta Q. Элек­тро­дви­га­тель со­вер­ша­ет ра­бо­ту над газом (опус­ка­ет пор­шень), сле­до­ва­тель­но, газ со­вер­ша­ет от­ри­ца­и­ель­ную ра­бо­ту \Delta A_газа, причём \Delta A_газа = минус \Delta A_э.

За­пи­шем пер­вое на­ча­ло тер­мо­ди­на­ми­ки для газа под порш­нем:

\Delta Q=\Delta A_ газа плюс \Delta U рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 1 минус \tilde\eta пра­вая круг­лая скоб­ка W \Delta t= минус \tilde\eta W \Delta t плюс \Delta U,

где \Delta U – из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии газа за время \Delta t. От­сю­да видно, что \Delta U = W \Delta t. Ко­неч­но, это оче­вид­ное со­от­но­ше­ние можно было на­пи­сать сразу: вся све­то­вая энер­гия в той или иной форме пе­ре­хо­дит во внут­рен­нюю энер­гию газа.

Так как внут­рен­няя энер­гия газа од­но­знач­но свя­за­на с его тем­пе­ра­ту­рой фор­му­лой \Delta U = 3\nu R\Delta T /2, за про­ме­жу­ток вре­ме­ни \Delta t из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры \Delta T со­ста­вит 2W \Delta t/ левая круг­лая скоб­ка 3\nu R пра­вая круг­лая скоб­ка , а зна­чит, за­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры от вре­ме­ни имеет вид

T левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =T_0 плюс дробь: чис­ли­тель: 2 W t, зна­ме­на­тель: 3 \nu R конец дроби \simeq 20 плюс 0,50 t,

где мы под­ста­ви­ли чис­ло­вые зна­че­ния из усло­вия и учли, что R \simeq 8,31Дж/ левая круг­лая скоб­ка Моль умно­жить на гра­ду­сов К пра­вая круг­лая скоб­ка . Из этого ре­ше­ния видно, что газ на­гре­ва­ет­ся на гра­дус каж­дые две се­кун­ды и к мо­мен­ту t  =  80 с на­гре­ет­ся до тем­пе­ра­ту­ры 60 °C, после чего КПД ба­та­реи упадёт до нуля и далее газ будет на­гре­вать­ся без сжа­тия (изо­хо­ри­че­ски).

Теп­ло­ем­кость газа на про­ме­жут­ке вре­ме­ни \Delta t по опре­де­ле­нию равна

C= дробь: чис­ли­тель: \Delta Q, зна­ме­на­тель: \Delta T конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 минус \tilde\eta пра­вая круг­лая скоб­ка W \Delta t, зна­ме­на­тель: 2 W \Delta t / левая круг­лая скоб­ка 3 \nu R пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 \nu R левая круг­лая скоб­ка 1 минус \tilde\eta пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

причём ве­ли­чи­на \tilde\eta из­вест­ным об­ра­зом за­ви­сит от тем­пе­ра­ту­ры T (за­ви­си­мость дана по усло­вию в виде гра­фи­ка), а тем­пе­ра­ту­ра, в свою оче­редь, из­вест­ным об­ра­зом свя­за­на с вре­ме­нем t,

C= дробь: чис­ли­тель: 3 \nu R левая круг­лая скоб­ка 1 минус \tilde\eta левая круг­лая скоб­ка T левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \simeq 12 левая круг­лая скоб­ка 1 минус \tilde\eta левая круг­лая скоб­ка 20 плюс 0,50 t пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =0,12 левая круг­лая скоб­ка 100 минус \eta левая круг­лая скоб­ка 20 плюс 0,50 t пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

Чтобы по­стро­ить гра­фик этой функ­ции, за­ме­тим, что функ­ция f левая круг­лая скоб­ка T пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 100 \% минус \eta левая круг­лая скоб­ка T пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка пред­став­ля­ет собой гра­фик из усло­вия, от­ра­жен­ный от линии \eta = 100\% (см. рис. 11). Умно­же­ние функ­ции на 0,12 со­от­вет­ству­ет сжа­тию мас­шта­ба этого гра­фи­ка по вер­ти­ка­ли по­сред­ством ко­эф­фи­ци­ен­та 0,12, а пе­ре­ход от пе­ре­мен­ной T к вре­ме­ни  — пре­об­ра­зо­ва­ни­ем мас­шта­ба по го­ри­зон­та­ли, при ко­то­ром точке T  =  60° со­от­вет­ству­ет мо­мент t  =  80, а точке T  =  20°  — время t  =  0.

Сле­ду­ет также до­пол­нить этот гра­фик го­ри­зон­таль­ной пря­мой при t > 80 c, со­от­вет­ству­ю­щей по­сто­ян­ной теплоёмко­сти газа 3\nu R/2 в изо­хо­ри­че­ском про­цес­се (см. рис. 11).

Ответ: Тем­пе­ра­ту­ра за­ви­сит от вре­ме­ни по за­ко­ну T левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =T_0 плюс дробь: чис­ли­тель: 2 W t, зна­ме­на­тель: 3 \nu R конец дроби \simeq 20 плюс 0,50 t, гра­фик C(T) пред­став­лен на рис. 12.

Классификатор: МКТ и тер­мо­ди­на­ми­ка. Пер­вый закон тер­мо­ди­на­ми­ки