РЕШУ ОЛИМП, физика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 5684 Добавить в вариант

Российские учёные разработали сверхчувствительный наносенсор на NO₂, который срабатывает при адсорбции на его поверхности одной молекулы NO₂. Чувствительный элемент расположили на внутренней поверхности герметичной камеры, содержащей NO₂. Молекулы NO₂ перемещаются внутри камеры и не сталкиваются друг с другом. При этом, столкновение молекулы со стенками камеры приводит к её «прилипанию» к стенке на время $\tau_1=2мс$ при комнатной температуре (27 °С). После этого молекула снова летит в произвольном направлении. Среднее время пролёта молекулы от стенки до стенки равно $\tau_2=4мс.$ Известно, что сенсор срабатывает в среднем за время t_c  =  1 мин. За какое время t₂ сработает сенсор, если камеру нагреть на 300 °C? Время прилипания экспоненциально зависит от температуры T: $\tau_1=\tau_10 \exp левая круглая скобка минус дробь: числитель: E_ a , знаменатель: kT конец дроби правая круглая скобка ,$ где E_a  — энергия адсорбции, равная 26 мэB, $k=1,38 умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 23 правая круглая скобка$  Дж/К  — постоянная Больцмана.

Спрятать решение

Решение.

В условии задачи была допущена опечатка: более правильная зависимость $\tau_1=\tau_10 e левая круглая скобка плюс дробь: числитель: E_ a , знаменатель: kT конец дроби правая круглая скобка ,$ зависимость с минусом  — нефизична. Поэтому правильными считались оба решения: и для тех, кто пошёл формальным путём и использовал данное выражение, и для тех, кто интуитивно использовал выражение с плюсом. Полное время пролёта и прилипания равно $\tau=\tau_1 плюс \tau_2=6мс.$ Время срабатывания обратно пропорционально числу столкновений и прямо пропорционально времени между столкновениями, то есть $t\approx \tau.$

Теперь посмотрим как изменятся $\tau_1$ и $\tau_2$ после нагрева. Заметим, что kT_c при комнатной температуре T_c равно как раз 26 мэВ $левая круглая скобка 1,38 умножить на 10 минус 23 умножить на дробь: числитель: 300, знаменатель: 1,6 конец дроби умножить на 10 в степени левая круглая скобка минус 19 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ следовательно, при $T_ h =600 К,$ $kT_ h =52 мэВ.$ Отсюда отношение времён:

$дробь: числитель: \tau_1 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: \tau_1 конец дроби = дробь: числитель: e левая круглая скобка \pm \dfrac E_a , знаменатель: k T_h конец дроби правая круглая скобка e левая круглая скобка \pm \dfrac E_a k T_c правая круглая скобка =e в степени левая круглая скобка \pm \dfrac E_a правая круглая скобка k T_h \mp \dfrac E_a k T_c,$

$\tau_1 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка / \tau_1=e левая круглая скобка \pm 0,5 правая круглая скобка .$ Тогда $\tau_1 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =1,21 мс$ для плюса и 3,29 мс для минуса.

Время t₂ зависит от скорости, квадрат которой пропорционален температуре, поэтому $\tau_1 / \tau_1 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = левая круглая скобка T_ h / T_ c правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка ,$ $\tau '=\tau / корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =2,82 мс.$ Отсюда $\tau'=4 мс$ в первом варианте и $\tau'=6,12 мс$ во втором. Осталось составить пропорцию: $t / \tau=t в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка / \tau':$

$t_h=t_c дробь: числитель: \tau_1 e левая круглая скобка \pm \dfrac E_a , знаменатель: k T_h конец дроби \mp \dfrac E_a k T_c правая круглая скобка плюс \tau_2 корень из: начало аргумента: \dfrac T_c конец аргумента T_h\tau_1 плюс \tau_2.$

Ответ: сенсор сработает за 40 секунд в первом варианте и за 1,02 минуты.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Баллы
Корректный перевод энергий в общие единицы измерений	3
Получена формула $\tau ' _1/ \tau _1 = e левая круглая скобка \pm 0,5 правая круглая скобка$	3
Найдено τ'₁	2
Получена формула $\tau_1 / \tau_1 в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = левая круглая скобка T_ h / T_ c правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка$	4
Найдено τ'	2
Составлена пропорция	4
Получен правильный ответ	2
Максимальный балл	20

Нанотехнологии  — прорыв в будущее, 9, 7, 8, 10, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2015 год

Классификатор: МКТ и термодинамика. Основное уравнение МКТ идеального газа

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь