По­ме­стим на­ча­ло ко­ор­ди­нат около ле­во­го конца моста и на­пра­вим ось Ox вдоль него.

На Рис. 5 схе­ма­тич­но изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ко­ор­ди­нат маль­чи­ка и де­воч­ки от вре­ме­ни. Глядя на этот гра­фик можно до­га­дать­ся, что через боль­шое время Саша и Маша будут встре­чать­ся при­мер­но в одних и тех же точ­ках. Эти точки будут рас­по­ло­же­ны сим­мет­рич­но от­но­си­тель­но цен­тра моста, по­это­му обо­зна­чим их рас­сто­я­ния от ле­во­го конца как Между встре­ча­ми Саша про­хо­дит путь 2x, а Маша L. Они де­ла­ют это за оди­на­ко­вое время, по­это­му можно за­пи­сать:

Таким об­ра­зом, “уста­но­вив­ше­е­ся” рас­сто­я­ние от мест встре­чи до бли­жай­ше­го конца моста будет

Рас­смот­рим далее, как про­ис­хо­дит при­бли­же­ние к этому “уста­но­вив­ше­му­ся” ре­жи­му. Пусть n-ая встре­ча между Сашей и Машей про­изо­шла на рас­сто­я­нии ln от того конца моста, от ко­то­ро­го в тот мо­мент уда­ля­лась Маша. Обо­зна­чим через ln+1 рас­сто­я­ние от про­ти­во­по­лож­но­го конца моста до места сле­ду­ю­щей встре­чи. Между этими встре­ча­ми Саша прой­дет путь

а Маша путь (см. Рис. 6). Тогда можно от­ме­тить, что:

и, сле­до­ва­тель­но:

Учи­ты­вая, что со вре­ме­нем ln долж­но при­бли­жать­ся к l_*, удоб­но вве­сти новую пе­ре­мен­ную hn  =  ln − l_* и по­лу­чить урав­не­ние:

По­лу­чен­ное вы­ра­же­ние, в прин­ци­пе, ре­ша­ет за­да­чу.

Из усло­вий за­да­чи сле­ду­ет, что Тогда

Таким об­ра­зом, 3-я встре­ча про­изой­дет на рас­сто­я­нии l_* + h₃  =  37,5 м от пра­во­го конца моста. Оста­лось разо­брать­ся со сред­ним рас­сто­я­ни­ем между Сашей и Машей за боль­шой про­ме­жу­ток вре­ме­ни. Будем счи­тать, что “уста­но­вив­ший­ся” режим уже на­сту­пил и рас­счи­та­ем сред­нее рас­сто­я­ние в этом слу­чае. При это пер­вые не­сколь­ко встреч, т. е. “пе­ре­ход­ный режим” будут да­вать не­боль­шие по­прав­ки к сред­не­му, тем мень­шие, чем боль­ше время усред­не­ния. В одном по­лу­пе­ри­о­де уста­но­вив­ше­го­ся ре­жи­ма рас­сто­я­ние ли­ней­но ме­ня­ет­ся от нуля (мо­мент встре­чи) до не­ко­то­ро­го мак­си­маль­но­го r_max и затем опять до нуля (сле­ду­ю­щая встре­ча). Т. к. рас­сто­я­ние ме­ня­ет­ся со вре­ме­нем ли­ней­но, легко по­нять, что сред­нее рас­сто­я­ние будет равно r_max/2. Для опре­де­ле­ния rmax от­ме­тим, что мак­си­маль­ное рас­сто­я­ние до­сти­га­ет­ся в мо­мент когда Маша до­хо­дит до конца моста, через время (L/2 + x)/u от преды­ду­щей встре­чи. За это время Саша про­хо­дит путь (L/2 + x)v/u и

Из этого сле­ду­ет, что сред­нее рас­сто­я­ние будет равно м.

Ответ: Тре­тья встре­ча про­изой­дет на рас­сто­я­нии 37,5 м от пра­во­го конца моста, сред­нее рас­сто­я­ние при­бли­зи­тель­но равно 22,2 м.