Обо­зна­чим ко­эф­фи­ци­ент тре­ния между опо­ра­ми и стерж­ня­ми через длину стерж­ней через L, массу  — через m.

Все силы, дей­ству­ю­щие на стерж­ни, изоб­ра­же­ны на Рис. 7. По тре­тье­му за­ко­ну Нью­то­на, сила, с ко­то­рой го­ри­зон­таль­ный стер­жень дей­ству­ет через шар­нир на на­кло­нен­ный стер­жень, равна по ве­ли­чи­не и об­рат­на по на­прав­ле­нию силе, с ко­то­рой на­кло­нен­ный стер­жень дей­ству­ет на го­ри­зон­таль­ный. Удоб­но раз­ло­жить эти силы на вер­ти­каль­ные и го­ри­зон­таль­ные со­став­ля­ю­щие. На Рис. 7 они обо­зна­че­ны через N и F, со­от­вет­ствен­но. Силы ре­ак­ции и дей­ству­ю­щие на стерж­ни со сто­ро­ны опор A и B, также ока­зы­ва­ет­ся це­ле­со­об­раз­ным раз­ло­жить на вер­ти­каль­ные и го­ри­зон­таль­ные со­став­ля­ю­щие N_A и F_A, N_B и F_B, со­от­вет­ствен­но. Об­ра­ти­те вни­ма­ние, что в слу­чае опоры B про­ек­ции N_B и F_B не сов­па­да­ют с силой нор­маль­ной ре­ак­ции опоры и силой тре­ния, со­от­вет­ствен­но. Для того чтобы по­лу­чить по­след­ние, и не­об­хо­ди­мо спро­еци­ро­вать силу на оси нор­маль­ную и па­рал­лель­ную на­клон­но­му стерж­ню. На­ко­нец, на стерж­ни дей­ству­ет при­тя­же­ние со сто­ро­ны земли. На Рис. 7 силы F изоб­ра­же­ны в пред­по­ло­же­нии, что шар­нир рас­тал­ки­ва­ет стерж­ни. Про­ти­во­по­лож­ный слу­чай будет рас­смот­рен позже.

Вы­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на для го­ри­зон­таль­но­го стерж­ня в про­ек­ции на вер­ти­каль­ную и го­ри­зон­таль­ную оси:

Ана­ло­гич­но для вто­ро­го стерж­ня имеем

Рас­смот­рим от­но­си­тель­но шар­ни­ра мо­мен­ты всех сил, дей­ству­ю­щих на левый стер­жень (сум-ма всех мо­мен­тов в рав­но­ве­сии долж­на быть равна нулю):

Решая си­сте­му по­лу­чив­ших­ся урав­не­ний (1), (2) и (3), по­лу­ча­ем

Обо­зна­чим через x рас­сто­я­ние от шар­ни­ра O до точки, в ко­то­рой не­об­хо­ди­мо раз­ме­стить опору B. Тогда для вто­ро­го стерж­ня пра­ви­ло мо­мен­тов дает

По усло­вию, угол на­кло­на вто­ро­го стерж­ня равен 45°, а зна­чит, Таким об­ра­зом, из (14) для по­ло­же­ния опоры B по­лу­ча­ем: где мы для удоб­ства ввели обо­зна­че­ние Из по­след­не­го вы­ра­же­ния видно, при раз­ных зна­че­ния го­ри­зон­таль­ной про­ек­ции силы в шар­ни­ре F, опору B нужно раз­ме­щать в раз­ных ме­стах. При этом ве­ли­чи­на x лежит в ин­тер­ва­ле [0; L] при любом не­от­ри­ца­тель­ном зна­че­нии па­ра­мет­ра s.

Мы нашли по­ло­же­ние опоры B, счи­тая, что рав­но­ве­сие си­сте­мы су­ще­ству­ет. Од­на­ко для от­ве­та на во­прос за­да­чи, не­об­хо­ди­мо иное: нужно ис­сле­до­вать, при каких зна­че­ни­ях ко­эф­фи­ци­ен­та тре­ния между стерж­ня­ми и опо­ра­ми это по­ло­же­ние рав­но­ве­сие во­об­ще воз­мож­но. В не­ко­то­ром смыс­ле, это “об­рат­ная” за­да­ча. Обыч­но в за­да­че из­ве­стен ко­эф­фи­ци­ент тре­ния, и не­об­хо­ди­мо найти, на­при­мер, дей­ству­ю­щие в си­сте­ме силы. Здесь же, на­про­тив, мы сами рас­по­ря­жа­ем­ся си­ла­ми, а имен­но, го­ри­зон­таль­ной про­ек­ци­ей силы в шар­ни­ре F, и пы­та­ем­ся разо­брать­ся, при каких зна­че­ни­ях можно по­до­брать такое зна­че­ние F, чтобы си­сте­ма была в рав­но­ве­сии.

Нач­нем ис­сле­до­вать си­сте­му. Рас­смот­рим сна­ча­ла по­по­дроб­нее слу­чай, изоб­ра­жен­ный на Рис. 7: сила в шар­ни­ре рас­тал­ки­ва­ет стерж­ни. По­ло­же­ние рав­но­ве­сия опре­де­ля­ет­ся от­сут­стви­ем про­скаль­зы­ва­ния между опо­ра­ми и стерж­ня­ми. Для того, чтобы стерж­ни не про­скаль­зы­ва­ли, не­об­хо­ди­мо, чтобы ка­са­тель­ная со­став­ля­ю­щая силы ре­ак­ции опоры не пре­вос­хо­ди­ла пер­пен­ди­ку­ляр­ную со­став­ля­ю­щую умно­жен­ную на ко­эф­фи­ци­ент тре­ния:

Для опоры A дан­ное усло­вие сво­дит­ся к сле­ду­ю­ще­му:

Ис­сле­ду­ем те­перь про­скаль­зы­ва­ние стерж­ня на опоре B. Ка­са­тель­ная и нор­маль­ная со­став­ля­ю­щие силы ре­ак­ции равны, со­от­вет­ствен­но,

Рас­смот­рим спер­ва слу­чай или, что тоже самое Най­дем, воз­мож­но ли рав­но­ве­сие си­стем при таких зна­че­ни­ях силы F в шар­ни­ре и чему дол­жен быть равен при этом ко­эф­фи­ци­ент тре­ния Усло­вие от­сут­ствия про­скаль­зы­ва­ния дает в этом слу­чае

Рас­смат­ри­вая сов­мест­но не­ра­вен­ства (5) и (6), легко ви­деть, что для су­ще­ство­ва­ния ре­ше­ния (т. е. та­ко­го зна­че­ния силы F, при ко­то­ром воз­мож­но рав­но­ве­сие), не­об­хо­ди­мо, чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие

Ис­сле­ду­ем те­перь слу­чай

Не­ра­вен­ство, ана­ло­гич­ное (6), имеет вид

При µ < 1 не­ра­вен­ства (5) и (7) не имеют ре­ше­ний од­но­вре­мен­но. При усло­вие (8) вы­пол­ня­ет­ся ав­то­ма­ти­че­ски. Для су­ще­ство­ва­ния сов­мест­но­го ре­ше­ния не­ра­венств (5) и (8) не­об­хо­ди­мо

Таким об­ра­зом, в об­ла­сти не су­ще­ству­ет ни­ка­ких по­ло­же­ний рав­но­ве­сия с но­вы­ми по срав­не­нию с об­ла­стью зна­че­ни­я­ми ко­эф­фи­ци­ен­та тре­ния

Оста­ет­ся рас­смот­реть слу­чай, когда сила F в шар­ни­ре стя­ги­ва­ет стерж­ни. Дан­ная си­ту­а­ция изоб­ра­же­на на Рис. 8. Ана­ло­гич­но, можно вве­сти рас­сто­я­ние x от шар­ни­ра до опоры B. Из пра­ви­ла мо­мен­тов по­лу­ча­ем:

где, как и рань­ше, мы ис­поль­зу­ем обо­зна­че­ние

Ка­са­тель­ная и нор­маль­ная со­став­ля­ю­щие силы ре­ак­ции опоры в этом слу­чае равны

Усло­вие не­про­скаль­зы­ва­ния сво­дит­ся к не­ра­вен­ству

Из по­след­ней оцен­ки видно, что ко­эф­фи­ци­ен­ты тре­ния, при ко­то­рых воз­мож­но рав­но­ве­сие, за­ве­до­мо не мень­ше 1. Сле­до­ва­тель­но, дан­ная об­ласть также не до­став­ля­ет нам ка­че­ствен­но новых зна­че­ний

На этом за­кан­чи­ва­ет­ся ана­лиз всех воз­мож­ных слу­ча­ев. От­ве­том яв­ля­ет­ся объ­еди­не­ние всех най­ден­ных об­ла­стей из­ме­не­ния ко­эф­фи­ци­ен­тов тре­ния

Ответ: рав­но­ве­сие си­сте­мы, при ко­то­ром левый стер­жень го­ри­зон­та­лен и де­лит­ся точ­кой ка­са­ния опоры A в от­но­ше­нии 3:5, а пра­вый стер­жень на­кло­нен под углом 45° воз­мож­но при