сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 671
i

В шахт­ный во­до­сбор­ник  — ре­зер­ву­ар для сбора шахт­ных вод перед их от­кач­кой во­до­от­лив­ной уста­нов­кой  — рав­но­мер­но по­сту­па­ет вода. Пер­во­на­чаль­но во­до­сбор­ник был пу­стой, а на от­кач­ку воды из ка­ме­ры во­до­сбор­ни­ка ра­бо­тал один насос. Насос не справ­лял­ся с водой, так что за t_1=6мин ка­ме­ра за­пол­ни­лась на­по­ло­ви­ну. Тогда вклю­чи­ли на вто­рой (точно такой же) насос, но вода про­дол­жа­ла при­бы­вать  — ещё через t_2=15мин ка­ме­ра была за­пол­не­на пол­но­стью. За какое время ка­ме­ра опу­сте­ет, если в мо­мент ее пол­но­го за­пол­не­ния вклю­чить тре­тий (точно такой же) насос?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть в ре­зер­ву­ар каж­дую се­кун­ду по­сту­па­ет масса воды m, каж­дый насос от­ка­чи­ва­ет в се­кун­ду массу воды \mu, пол­ная масса воды в ре­зер­ву­а­ре  — M. Тогда для на­пол­не­ния по­ло­ви­ны ка­ме­ры при ра­бо­те од­но­го на­со­са имеем

 \mathrmmt_1 минус \mu \mathrmt_1= дробь: чис­ли­тель: M, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Для за­пол­не­ния вто­рой по­ло­ви­ны ка­ме­ры при ра­бо­те двух на­со­сов имеем

 \mathrmmt_2 минус 2 \mu \mathrmt_2= дробь: чис­ли­тель: M, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Решая си­сте­му урав­не­ний от­но­си­тель­но m и \mu, по­лу­чим

 \mathrmm= дробь: чис­ли­тель: \mathrmM левая круг­лая скоб­ка 2 \mathrmt_2 минус \mathrmt_1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 \mathrmt_1 \mathrmt_2 конец дроби , \mu= дробь: чис­ли­тель: \mathrmM левая круг­лая скоб­ка \mathrmt_2 минус \mathrmt_1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 \mathrmt_1 \mathrmt_2 конец дроби .

Те­перь можно рас­смот­реть ра­бо­ту трех на­со­сов

 3 \mu \mathrmt_3 минус \mathrmmt_3=\mathrmM \quad \Rightarrow \quad \mathrmt_3= дробь: чис­ли­тель: \mathrmM, зна­ме­на­тель: 3 \mu минус \mathrmm конец дроби .

Под­став­ляя в по­след­нюю фор­му­лу m и \mu, най­дем

 t_3= дробь: чис­ли­тель: 2 t_1 t_2, зна­ме­на­тель: t_2 минус 2 t_1 конец дроби =60 мин.

Ответ: 60 мин.

Классификатор: Ме­ха­ни­ка. Масса и плот­ность