По­сколь­ку в за­да­че тре­бу­ет­ся ис­сле­до­вать дви­же­ние ку­би­ка от­но­си­тель­но брус­ка, а сила сжа­тия пру­жи­ны за­ви­сит лишь от вза­им­но­го по­ло­же­ния бруса и ку­би­ка, удоб­но ре­шать за­да­чу в си­сте­ме отсчёта, в ко­то­рой брус не­по­дви­жен. Эта си­сте­ма отсчёта не­инер­ци­аль­на, ведь она дви­жет­ся с уско­ре­ни­ем вме­сте с бру­сом. В ней на кубик кроме пру­жи­ны будет дей­ство­вать сила инер­ции, рав­ная ma, где m  — масса ку­би­ка. Сила эта в любой мо­мент будет на­прав­ле­на в сто­ро­ну, про­ти­во­по­лож­ную уско­ре­нию бруса, т. е. в те­че­ние пер­вой се­кун­ды  — впра­во, затем, в те­че­ние вто­рой се­кун­ды,  — влево и т. д.

Опи­шем дви­же­ние ку­би­ка в этой си­сте­ме отсчёта. Пер­во­на­чаль­но пру­жи­на не рас­тя­ну­та, кубик на­хо­дит­ся в по­ло­же­нии рав­но­ве­сия (обо­зна­чим ко­ор­ди­на­ту этой точки x₀  =  0). Од­на­ко, при ”вклю­че­нии” силы инер­ции ma по­ло­же­ние рав­но­ве­сия ку­би­ка на пру­жин­ке сме­ща­ет­ся пра­вее точки x₀ на (k  — жёсткость пру­жи­ны), т. е. в точку с ко­ор­ди­на­той При этом кубик на­чи­на­ет сме­щать­ся в это новое по­ло­же­ние рав­но­ве­сия, про­ска­ки­ва­ет его по инер­ции впра­во и про­дол­жа­ет далее ко­ле­ба­тель­ное дви­же­ние на пру­жи­не по гар­мо­ни­че­ско­му за­ко­ну с ам­пли­ту­дой (см. рис. 1). К на­ча­лу вто­рой се­кун­ды кубик рас­по­ло­жит­ся, таким об­ра­зом, в не­ко­то­рой точке x₁, так что рас­сто­я­ние между x₁ и y₁ будет не пре­вы­шать т. е. (где-то в ин­тер­ва­ле, охва­ты­ва­е­мом на ри­сун­ке 1) фи­гур­ной скоб­кой, по­ме­чен­ной ”ко­ле­ба­ния за первую се­кун­ду”.

Далее ”вклю­ча­ет­ся” сила инер­ции, на­прав­лен­ная влево, так что по­ло­же­ние рав­но­ве­сия ку­би­ка те­перь на­хо­дит­ся в точке Кубик те­перь ко­леб­лет­ся во­круг этой точки с ам­пли­ту­дой x₁ − y₂ (и рас­по­ла­га­ет­ся где-то внут­ри ин­тер­ва­ла, обо­зна­чен­но­го на ри­сун­ке как ”ко­ле­ба­ния за вто­рую се­кун­ду”).

Из рис. 1 легко по­нять, что един­ствен­ный слу­чай, когда мак­си­маль­ное сме­ще­ние ку­би­ка из на­чаль­но­го по­ло­же­ния x₀ влево и впра­во равны,  — это когда x₁ и x₀ сов­па­да­ют, т. е. когда кубик к на­ча­лу вто­рой се­кун­ды ока­зал­ся в точ­но­сти в точке x₀, со­вер­шив за первую се­кун­ду ровно одно ко­ле­ба­ние на пру­жи­не с пе­ри­о­дом При даль­ней­шем дви­же­нии кубик также будет к мо­мен­ту ”пе­ре­клю­че­ния” на­прав­ле­ния силы инер­ции воз­вра­щать­ся в точку x₀, что со­от­вет­ству­ет усло­вию за­да­чи (см. рис. 2). Мак­си­маль­ное от­кло­не­ние ку­би­ка в каж­дую сто­ро­ну равно по усло­вию 1 мм.

Когда пру­жи­ну удли­ни­ли в 4 раза, её жёсткость умень­ши­лась в 4 раза и стала равна Дей­стви­тель­но, под дей­стви­ем той же силы удлинённая в 4 раза пру­жи­на рас­тя­ги­ва­ет­ся как сум­мар­но че­ты­ре ис­ход­ных пру­жи­ны под дей­стви­ем той же силы, т. е. в 4 раза силь­нее ис­ход­ной; это как раз и, зна­чит, что жест­кость удлинённой пру­жи­ны в 4 раза мень­ше жёстко­сти ис­ход­ной. По­ло­же­ния рав­но­ве­сия те­перь будут сдви­гать­ся при ”пе­ре­клю­че­нии” силы инер­ции от­но­си­тель­но на­чаль­но­го по­ло­же­ния на ве­ли­чи­ну т. е. в точки

При этом пе­ри­од ко­ле­ба­ний ку­би­ка на такой пру­жи­не стал Зна­чит, к на­ча­лу вто­рой се­кун­ды кубик со­вер­шит толь­ко пол­ко­ле­ба­ния и ока­жет­ся в точке с ну­ле­вой ско­ро­стью. В этот мо­мент по­ло­же­ние рав­но­ве­сия пе­ре­ме­стит­ся в точку так что ам­пли­ту­да сле­ду­ю­ще­го ко­ле­ба­ния со­ста­вит К на­ча­лу тре­тьей се­кун­ды кубик снова успе­ет со­вер­шить лишь пол­ко­ле­ба­ния, а в мо­мент, когда он ока­жет­ся в точке x₂  =  −8 мм, по­ло­же­ние рав­но­ве­сия пе­ре­ме­стит­ся в точку y₁.

Итак, во вто­ром слу­чае кубик будет рас­ка­чи­вать­ся, так как пе­ри­о­ди­че­ски ме­ня­ю­щая сила инер­ции по­па­ла в ре­зо­нанс ко­ле­ба­ни­ям ку­би­ка на брус­ке.

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, сле­ду­ю­щее ко­ле­ба­ние будет иметь ам­пли­ту­ду 10 мм, и после по­ло­ви­ны та­ко­го ко­ле­ба­ния кубик ока­жет­ся в точке x₃  =  12 мм, и т. д., за каж­дую по­сле­ду­ю­щую се­кун­ду кубик будет от­кло­нять­ся от x₀ на 4 мм боль­ше, чем за преды­ду­щую.

К концу же 120й се­кун­ды кубик ока­жет­ся на рас­сто­я­нии 120 · 4  =  480 мм  =   48 см левее точки x₀. За­ме­тим, что при длине пру­жи­ны 48 см имен­но в этот мо­мент кубик уда­рит­ся о гвоздь.

Ответ: пру­жи­на будет сжата на 48 см, кубик уда­рит­ся о гвоздь.