На схеме изображён в масштабе автомобиль (вид сверху). В точках А и Б шарнирно закреплены края зеркал бокового вида; в точке Т — середина зеркала заднего вида. В каком положении должен зафиксировать водитель зеркала, чтобы, наблюдая из точки В, он видел:
1) в левое зеркало точку К, и то, что находится как можно левее от неё;
2) в правое зеркало точку М, и то, что находится как можно правее от неё.
3) в зеркало заднего вида отрезок МК целиком (все допустимые положения).
Приведите на схеме правильное положение зеркал. Обоснуйте построение.
По условию задачи требуется, чтобы точка К была видна в левое зеркало и располагалась в нём максимально справа — ведь именно тогда в зеркале “уместится” то, что находится максимально левее К. Значит, изображение К должно формироваться в зеркале на продолжении луча ВА. Построим луч, который выходит из К, отражается от зеркала в точке А и попадает в точку В — в глаз водителю. Очевидно, зеркало должно располагаться перпендикулярно биссектрисе угла КАВ (см. рис. 6). Аналогично, правое зеркало должно располагаться перпендикулярно биссектрисе угла МБВ (см. рис. 7).
Разберём теперь вопрос о допустимых положениях зеркала заднего вида.
Предположим, что водитель может увидеть в зеркало весь отрезок КМ, расположив зеркало некоторым образом. Тогда, слегка повернув его, он увидит, как изображение КМ сдвигается к краю. Таким образом, следует найти два крайних положения: при одном изображение КМ расположено так, чтобы изображение точки К оказалась на краю зеркала (левом), при другом — изображение М (на правом краю). Нарисуем окружность с центром в точке Т, по которой могут двигаться края зеркала заднего вида. Используя закон отражения, легко понять, что для построения одного крайнего положений зеркала, при котором на краю зеркала изображение К, следует найти такую точку F этой окружности, касательная к которой (или, что тоже самое, перпендикуляр к плоскости зеркала) оказывается биссектрисой угла КFВ.
Аналогично, для второго положения следует построить точку G окружности, касательная к которой является биссектрисой угла MGB. Конечно, можно искать точки F и G просто перебором, однако такой метод не позволяет контролировать точность построения. Следует придумать последовательность действий, позволяющую уточнять положение искомых точек до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность (говорят, ”построить сходящуюся итерационную процедуру”).
Чтобы разобраться в вопросе аккуратно, рассмотрим, как движется для некоторой точки Х её изображение в зеркале при вращении зеркала вокруг оси Т (см. рис. 8). Понятно, что для любого положения зеркала, когда Х отображается в точку Х′, расстояния ХТ и ТХ′ совпадают. Значит, при вращении зеркала мнимое изображение “бежит” по окружности радиуса ХТ.
Возвращаясь к изображению отрезка КМ в зеркале заднего вида, легко понять, что при вращении зеркала вокруг точки Т отрезок КМ будет “ездить” по окружности с центром в точке Т. Ясно, что при повороте зеркала на некоторый угол изображение будет съезжать по окружности на вдвое больший угол.
На рис. 9 представлено одно из положений зеркала, при которых водитель увидит в зеркале заднего вида отрезок КМ в виде изображения К′М′. Для примера мы выбрали случай, когда водитель видит изображение точки Н (середины КМ) ровно посередине зеркала, ВН′ проходит через Т. Зеркало на этом рисунке ориентировано перпендикулярно биссектрисе угла HH′B.
Построенное положение вовсе не единственно, ведь зеркало можно поворачивать, так чтобы края изображения К′ и М′ не выходили за пределы видимости.
Попробуем построить такое положение зеркала, при котором изображение точки М (точка М′) водитель видит у правого края зеркала. Построим малую окружность, по которой двигаются края зеркала заднего вида. Из точки В проведём касательную к этой окружности и на её продолжении поставим точку
М′ (см. рис. 10). Расположим зеркало перпендикулярно биссектрисе угла ВМ′М.
Проблема этого построения в том, что зеркало оказалось не перпендикулярно ВМ′, значит, водитель увидит не весь отрезок К′М′: с его точки зрения точка М′ чуть-чуть не поместится в зеркале. Действительно, прямая ВХ, соединяющая край зеркала и точку В, чуть отличается от касательной ВМ′, и водитель сможет видеть в зеркало лишь часть К′Х от всего изображения. Чтобы исправить это, зеркало следует довернуть против часовой стрелки на половину угла ХВМ′, так что изображение точки М сместиться в Х, затем следует снова проверить, какая часть изображения не влезла, и снова довернуть зеркало... Данная итеративная процедура быстро сходится ввиду малости угла ХВМ′.
Положение, при котором на край зеркала приходится изображение точки К, представлено на рис. 11.
Здесь также построена касательная к малой окружности и зеркало перпендикулярно биссектрисе угла КК′В. Все оговорки, касающиеся итеративной процедуры и предела погрешности остаются здесь справедливыми.
Напоследок заметим, что описанная итеративная процедура построения крайних положений зеркала заднего вида не является единственной. Можно было, например, взяв за стартовое положение зеркала, параллельное КМ, расположить первоначально точки F и G на его краях, измерить углы KFB и MGB, расположить зеркало перпендикулярно одной, а потом другой биссектрисе, и назвать данные положения более точно найденными крайними положениями. Передвинув точки F и G снова измерить углы KFB и MGB и повторять процедуру. Ввиду того, что при сдвиге точек F и G измеряемые углы меняются слабо, такая итеративная процедура также быстро сходится.
Ответ: Положение боковых зеркал см. на рис. 6, 7. Крайние положения зеркала заднего вида изображены на