сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 0 № 3065
i

Во­прос. Жест­кий стер­жень дви­жет­ся в плос­ко­сти. В не­ко­то­рый мо­мент вре­ме­ни ско­рость од­но­го из его кон­цов равна 0,4 м/с и на­прав­ле­на вдоль стерж­ня. В тот же мо­мент вре­ме­ни ско­рость дру­го­го конца стерж­ня равна 0,8 м/с. Под каким углом к стерж­ню на­прав­ле­на эта ско­рость? Ответ объ­яс­нить.

За­да­ча. Вам не­об­хо­ди­мо изу­чить дви­же­ние сле­ду­ю­ще­го ме­ха­ни­че­ско­го устрой­ства: три оди­на­ко­вых мас­сив­ных ша­ри­ка при­креп­ле­ны к кон­цам и се­ре­ди­не лег­ко­го жест­ко­го стерж­ня. Длина стерж­ня L  =  1,2 м. Край­ние ша­ри­ки могут без тре­ния сколь­зить по вер­ти­каль­ной и го­ри­зон­таль­ной на­прав­ля­ю­щим (см. ри­су­нок). Сред­ний шарик шар­нир­но со­еди­нен с лег­ким жест­ким стерж­нем вдвое мень­шей длины. Вто­рой конец этого стерж­ня при­креп­лен (также с по­мо­щью шар­ни­ра) к пе­ре­кре­стью на­прав­ля­ю­щих. Из­на­чаль­но стер­жень рас­по­ла­га­ют вдоль вер­ти­каль­ной на­прав­ля­ю­щей и от­пус­ка­ют без на­чаль­ной ско­ро­сти. Тре­ния нигде нет, край­ние ша­ри­ки не от­ры­ва­ют­ся от на­прав­ля­ю­щих и не за­стре­ва­ют в них. По какой тра­ек­то­рии будет дви­гать­ся сред­ний шарик? Куда будет на­прав­ле­на его ско­рость в тот мо­мент, когда длин­ный стер­жень будет про­хо­дить по­ло­же­ние, в ко­то­ром он со­став­ля­ет 45° с го­ри­зон­том? Най­ди­те ве­ли­чи­ну этой ско­ро­сти. Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния g \approx 10 м/с2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ответ: Так как длина «жест­ко­го» стерж­ня не долж­на из­ме­нять­ся, то про­ек­ции ско­ро­стей его точек на стер­жень долж­ны быть оди­на­ко­вы и по­это­му равны 0,4 м/с. Такой долж­на быть и про­ек­ция ско­ро­сти «дру­го­го конца», то есть про­ек­ция (катет пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го век­то­ром ско­ро­сти, его про­ек­ци­ей и пер­пен­ди­ку­ля­ром к стерж­ню) долж­на рав­нять­ся по­ло­ви­не самой ско­ро­сти (ги­по­те­ну­зы). Зна­чит, при­ле­жа­щий угол для этого ка­те­та угол между ско­ро­стью и стерж­нем  — равен 60°.

Ре­ше­ние за­да­чи. Рас­сто­я­ние между сред­ним ша­ри­ком и пе­ре­кре­стьем на­прав­ля­ю­щих все время оста­ет­ся по­сто­ян­ным (рав­ным по­ло­ви­не L). По­это­му ясно, что сред­ний шарик дви­жет­ся по окруж­но­сти ра­ди­у­са  дробь: чис­ли­тель: L, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Его ско­рость в любой мо­мент вре­ме­ни на­прав­ле­на по ка­са­тель­ной к этой окруж­но­сти, и в мо­мент, когда длин­ный стер­жень будет про­хо­дить по­ло­же­ние, в ко­то­ром он со­став­ля­ет 45° с го­ри­зон­том, эта ско­рость будет на­прав­ле­на вдоль стерж­ня. Пусть ее ве­ли­чи­на в этот мо­мент равна υ. Так как длина стерж­ня не долж­на из­ме­нять­ся, то про­ек­ции ско­ро­стей ша­ри­ков на стер­жень долж­ны быть оди­на­ко­вы, по­это­му ско­ро­сти край­них ша­ри­ков в этот мо­мент оди­на­ко­вы и равны  v ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Сле­до­ва­тель­но, ки­не­ти­че­ская энер­гия си­сте­мы в этот мо­мент вре­ме­ни

E_К= дробь: чис­ли­тель: m v в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 дробь: чис­ли­тель: m левая круг­лая скоб­ка v ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 m v в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Так как эта энер­гия по­яви­лась из-за убыли по­тен­ци­аль­ной энер­гии верх­не­го и сред­не­го ша­ри­ков в поле тя­же­сти Земли

 минус \Delta E_П=m g левая круг­лая скоб­ка L минус дробь: чис­ли­тель: L, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс m g левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: L, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: L, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3 m g L, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

то

 дробь: чис­ли­тель: 5 m v в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 m g L, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

и из этого со­от­но­ше­ния на­хо­дим, что

 v = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3 левая круг­лая скоб­ка 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец ар­гу­мен­та g L \approx 2,05 м/с.

Ответ: сред­ний шарик дви­жет­ся по окруж­но­сти ра­ди­у­са  дробь: чис­ли­тель: L, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , в ука­зан­ный мо­мент вре­ме­ни его ско­рость на­прав­ле­на вниз вдоль длин­но­го стерж­ня, а ее ве­ли­чи­на  v = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3 левая круг­лая скоб­ка 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец ар­гу­мен­та g L \approx 2,05 м/с.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Мак­си­маль­ная оцен­ка за во­прос — 5 тех­ни­че­ских бал­лов.

Мак­си­маль­ная оцен­ка за за­да­чу — 20 тех­ни­че­ских бал­лов.


Аналоги к заданию № 3060: 3065 Все

Классификатор: Ме­ха­ни­ка. Закон со­хра­не­ния энер­гии в конс. си­сте­мах