РЕШУ ОЛИМП, физика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 3057 Добавить в вариант

Вопрос. На сколько процентов нужно изотермически уменьшить объем идеального газа, чтобы его давление возросло на 20%? А на 0,4% (ответ дайте с точностью до 0,1%)?

Задача. В конструкции специализированного робота используется акселерометр (датчик ускорения) следующей конструкции: в гладкой герметичной горизонтальной трубке, заполненной газом, находится небольшой поршень. В отсутствие ускорения поршень располагается точно посередине трубки. При появлении продольного ускорения поршень смещается. На испытаниях робот двигался с ускорением a  =  2 м/с², а температура газа равнялась $t \approx 12 градусов C,$ и при этом смещение поршня составило $x=5,7$  мм. В один из моментов работы робота смещение поршня равнялось $x'=4,5$  мм при температуре газа $t'\approx 27 градусовС .$ С каким продольным ускорением двигался робот? Ответ нужно получить с ошибкой менее 2%.

Решение.

Ответ на вопрос. Согласно закону Бойля-Мариотта, в изотермическом процессе $pV=const.$ Поэтому, если $дробь: числитель: p в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: p конец дроби =1,2,$ то $дробь: числитель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: V конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 1,2 конец дроби \approx 0,833,$ то есть для увеличения давления на 20% нужно уменьшить объем на 16,7%. Аналогично для $дробь: числитель: p в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: p конец дроби =1,004$ получается

$дробь: числитель: V в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: V конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 1,004 конец дроби \approx 0,996,$

то есть во втором случае уменьшить объем нужно примерно на 0,4%. Можно сделать вывод: при малых изменениях величины относительных изменений совпадают с точностью до поправок большего порядка малости.

Решение задачи. Поскольку в отсутствие ускорения поршень располагается точно посередине трубки, то в трубке по разные стороны от поршня находится одинаковое количество газа υ. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для газа в каждой из частей трубки, в которой поршень смещен от середины на x при температуре T:

$p_1 S левая круглая скобка дробь: числитель: L, знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка =p_2 S левая круглая скобка дробь: числитель: L, знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка = v R T$

(здесь S  — площадь поперечного сечения трубки). Дополним их уравнением движения поршня массой m, движущегося вместе с трубкой с ускорением a: $m a=p_1 S минус p_2 S.$ Выразив силы давления из первых двух соотношений и подставив их в третье, получим связь ускорения и смещения:

$m a= дробь: числитель: 2 v R T, знаменатель: L минус 2 x конец дроби минус дробь: числитель: 2 v R T, знаменатель: L плюс 2 x конец дроби \Rightarrow дробь: числитель: 8 x, знаменатель: L в квадрате минус 4 x в квадрате конец дроби = дробь: числитель: m, знаменатель: v R T конец дроби a.$

При указанных в условиях величинах ускорений и температурах, близких к нормальной, смешения небольшого по массе поршня должны быть малы по сравнению с длиной трубки $левая круглая скобка x \ll L правая круглая скобка .$ Поэтому в знаменателе можно пренебречь 4x² по сравнению с $L в квадрате ,$ и тогда

$x \approx дробь: числитель: m L в квадрате , знаменатель: 8 v R конец дроби дробь: числитель: a, знаменатель: T конец дроби .$

Например, если давление в трубке близко к нормальному атмосферному, а масса поршня равна 100 г при площади 1 см² (то есть он весьма тяжелый), то для создания ускорения в 1 м/с² достаточно, чтобы разность давлений составляла 1% от равновесного давления. Того же порядка должна быть и относительная разность объемов, тогда $дробь: числитель: 4 x в квадрате , знаменатель: L в квадрате конец дроби \approx 10 в степени левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка !$ Значит, точность полученной формулы при разумных значениях параметров акселерометра значительно лучше требуемой. Таким образом, для разных значений температуры и ускорения

$дробь: числитель: x в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби = дробь: числитель: T, знаменатель: T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка конец дроби дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: a конец дроби \Rightarrow a в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = дробь: числитель: T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: T x конец дроби a \approx 1,66 м/с в квадрате .$

В вычислениях округление производим с учетом требуемой точности.

Ответ: $a в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка = дробь: числитель: T в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка x в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка , знаменатель: T x конец дроби a \approx 1,66 м/с в квадрате .$

Аналоги к заданию № 3053: 3057 Все

Решение · Критерии · Помощь