Вы­яс­ним какое ко­ли­че­ство яблок со­бе­рут ко­ро­тыш­ки за 5 часов. Для этого опре­де­лим, сколь­ко яблок они со­бе­рут за час: n  =  1 · 60  =  60 яблок. Тогда за пять часов они со­бе­рут N  =  5 · n  =  300 яблок. Это ко­ли­че­ство яблок имеет массу M  =  N · m  =  300 · 0,1  =  30 кг. Тогда из этого ко­ли­че­ства яблок по­лу­чит­ся V  =  M · v  =  30 · 0,5  =  15 лит­ров.

Ответ: V  =  15 лит­ров сока.

Пе­рей­дем в си­сте­му от­сче­та «ко­раб­ли», то есть взгля­нем на си­ту­а­цию, опи­сан­ную в за­да­че, с точки зре­ния че­ло­ве­ка, на­хо­дя­ще­го­ся на одном из ко­раб­лей. С его точки зре­ния у всех объ­ек­тов по­яви­лась до­пол­ни­тель­ная ско­рость −u, то есть весь мир начал дви­гать­ся назад со ско­ро­стью u, а сами ко­раб­ли оста­ют­ся в покое. Таким об­ра­зом, и у тор­пе­ды по­яви­лась до­пол­ни­тель­ная ско­рость −u. В этой си­сте­ме от­сче­та она будет дви­гать­ся од­но­вре­мен­но вверх со ско­ро­стью V и впра­во со ско­ро­стью u (см. рис). Тогда тра­ек­то­рия дви­же­ния тор­пе­ды будет на­прав­ле­на по пря­мой, изоб­ражённой на ри­сун­ке и, как видно, тор­пе­да по­па­дет во 2 ко­рабль.

Ответ: попадёт во вто­рой ко­рабль.

Рав­но­ве­сие весов вос­ста­но­вит­ся в том слу­чае, если масса воды будет равна массе масла, то есть M_в  =  M_м. Най­дем массу масла M_м  =  ρ_м · V_м. Так как масса воды и масла равны то, если мы раз­де­лим массу масла на плот­ность воды, най­дем объем воды, ко­то­рой не­об­хо­ди­мо на­лить в ста­кан: Под­ста­вим в эту фор­му­лу чис­лен­ные дан­ные и по­лу­чим ответ:

Ответ:

Так как чайка за­ви­са­ет на месте во время штор­ма, если летит на во­сток, то, сле­до­ва­тель­но, ветер дует с во­сто­ка на запад и его ско­рость равна ско­ро­сти чайки, то есть 5 м/с. Если чайка не со­про­тив­ля­ет­ся ветру, то ветер сне­сет ее в за­пад­ном на­прав­ле­нии на то есть м. От­ло­жим это рас­сто­я­ние на схеме (точка С). Точка С ока­за­лась точно под точ­кой В на рас­сто­я­нии 30 м. То есть, чтобы по­пасть в точку В чайка долж­на была про­ле­теть за 6 с еще 30 м на север. Сле­до­ва­тель­но, если бы не было ветра, чайка про­ле­те­ла бы 30 м на север и ока­за­лась в точке D.

Ответ: 30 м на север в точке D.

Рас­сто­я­ние от дома до дачи по на­чаль­ным дан­ным GPS равно где V₁ – ско­рость ав­то­мо­би­ля в на­ча­ле пути, а t₁  =  80 мин  =  4800 с  — пред­по­ла­га­е­мое время на­хож­де­ния в пути в на­ча­ле по­езд­ки. Од­на­ко со ско­ро­стью V₁ ав­то­мо­биль про­ехал рас­сто­я­ние где t₂  =  40 мин  =  2400 с. Остав­ший­ся путь он про­ехал со ско­ро­стью V₂:

где t₃  =  10 мин  =  600 с. Но остав­ший­ся путь, по усло­вию равен 60 км, сле­до­ва­тель­но, в по­след­нем урав­не­нии есть толь­ко одно не­из­вест­ное – это ско­рость на вто­ром участ­ке пути, ко­то­рую нам и надо найти:

Под­ста­вим в по­след­нее урав­не­ние вы­ра­же­ния для пути из пер­вых двух:

Под­ста­вим чис­ло­вые зна­че­ния:

Из пер­во­го урав­не­ния:

Ответ: S  =  120 км; V₁  =  25 м/с  =  90 км/час; V₂  =  20 м/с  =  72 км/час.

Вы­яс­ним какое ко­ли­че­ство яблок со­бе­рут ко­ро­тыш­ки за 5 часов. Для этого опре­де­лим, сколь­ко яблок они со­бе­рут за час: n  =  1 · 60  =  60 яблок. Тогда за пять часов они со­бе­рут N  =  5 · n  =  300 яблок. Это ко­ли­че­ство яблок имеет массу M  =  N · m  =  300 · 0,1  =  30 кг. Тогда из этого ко­ли­че­ства яблок по­лу­чит­ся V  =  M · v  =  30 · 0,5  =  15 лит­ров.

Ответ: V  =  15 лит­ров сока.

Пе­рей­дем в си­сте­му от­сче­та «ко­раб­ли», то есть взгля­нем на си­ту­а­цию, опи­сан­ную в за­да­че, с точки зре­ния че­ло­ве­ка, на­хо­дя­ще­го­ся на одном из ко­раб­лей. С его точки зре­ния у всех объ­ек­тов по­яви­лась до­пол­ни­тель­ная ско­рость –u, то есть весь мир начал дви­гать­ся назад со ско­ро­стью u, а сами ко­раб­ли оста­ют­ся в покое. Таким об­ра­зом, и у тор­пе­ды по­яви­лась до­пол­ни­тель­ная ско­рость –u. В этой си­сте­ме от­сче­та она будет дви­гать­ся од­но­вре­мен­но вверх со ско­ро­стью V и впра­во со ско­ро­стью u (см. рис). Тогда тра­ек­то­рия дви­же­ния тор­пе­ды будет на­прав­ле­на по пря­мой, изоб­ражённой на ри­сун­ке и, как видно, тор­пе­да по­па­дет в 1 ко­рабль.

Ответ: попадёт в ко­рабль 1.

Рав­но­ве­сие весов вос­ста­но­вит­ся в том слу­чае, если масса воды будет равна массе масла, то есть M_в  =  M_м. Най­дем массу воды M_в  =  ρ_в · V_в. Так как масса воды и масла равны то, если мы раз­де­лим массу воды на объем масла, най­дем плот­ность масла, ко­то­рой не­об­хо­ди­мо на­лить в ста­кан: Под­ста­вим в эту фор­му­лу чис­лен­ные дан­ные и по­лу­чим ответ:

Ответ:

Так как чайка за­ви­са­ет на месте во время штор­ма, если летит на во­сток, то, сле­до­ва­тель­но, ветер дует с во­сто­ка на запад и его ско­рость равна ско­ро­сти чайки, то есть 5 м/с. За 4 с ветер сне­сет чайку в за­пад­ном на­прав­ле­нии на то есть За это же время чайка про­ле­тит на юг тоже 20 м, таким об­ра­зом она ока­жет­ся через 4 с в точке B.

Ответ: в точке В.

Рас­сто­я­ние от дома до дачи по на­чаль­ным дан­ным GPS равно где V₁  — ско­рость ав­то­мо­би­ля в на­ча­ле пути, а t₁  =  4 часа = 14 400 с  — пред­по­ла­га­е­мое время на­хож­де­ния в пути в на­ча­ле по­езд­ки. Од­на­ко со ско­ро­стью V₁ ав­то­мо­биль про­ехал рас­сто­я­ние где t₂  =  80 мин  =  4800 с. Остав­ший­ся путь он про­ехал со ско­ро­стью V₂:

где t₃  =  32 мин  =  1920 с. Но остав­ший­ся путь, по усло­вию равен 160 км, сле­до­ва­тель­но, в по­след­нем урав­не­нии есть толь­ко одно не­из­вест­ное – это ско­рость на вто­ром участ­ке пути, ко­то­рую нам и надо найти:

Под­ста­вим в по­след­нее урав­не­ние вы­ра­же­ния для пути из пер­вых двух:

Под­ста­вим и по­лу­чим:

Из пер­во­го урав­не­ния: S  =  60 · 4  =  240 км.

Ответ: S  =  240 км; V₁  =  16,7 м/с  =  60 км/ч; V₂  =  20,83 м/с  =  75 км/ч.

Из пра­ви­ла ры­ча­гов легко по­нять, что ваза будет сто­ять устой­чи­во тогда, когда центр её тя­же­сти (вме­сте с водой) на­хо­дит­ся над пло­ща­дью опоры. В ином слу­чае ваза пе­ре­вернётся.

Когда в вазе мало воды, центр тя­же­сти будет на­хо­дит­ся над ос­но­ва­ни­ем, и ваза будет сто­ять устой­чи­во. Будем по­сте­пен­но до­ли­вать воду. Пер­вый мо­мент, когда ваза ста­нет не­устой­чи­вой, легко опре­де­лить из сим­мет­рии (см. рис. 1). В этом слу­чае, оче­вид­но, центр тя­же­сти вазы с водой будет на­хо­дить­ся ровно над краем ос­но­ва­ния; при до­ли­ва­нии ма­ло­го ко­ли­че­ства воды уентр тя­же­сти пе­ре­ме­стит­ся влево, и ваза упадёт.

Будем до­ли­вать воду даль­ше. Когда пер­вая сек­ция будет це­ли­ком за­пол­не­на, центр тя­же­сти будет на­хо­дить­ся за пре­де­ла­ми ос­но­ва­ния. Ана­ло­гич­но при любом про­цен­те за­пол­не­ния вто­рой сек­ции.

На­учим­ся опре­де­лять центр тя­же­сти вазы, когда часть тре­тьей сек­ции за­пол­не­на. Пер­вые две сек­ции мы можем за­ме­нить на гру­зи­ки, мас­са­ми, рав­ны­ми массе воды в этих сек­ци­ях, и рас­по­ло­жен­ны­ми прямо под их цен­тра­ми тя­же­сти (см. рис. 2). Воду же в тре­тьей сек­ции мы можем за­ме­нить на гру­зик, мас­сой, рав­ной массе воды в этой сек­ции, и рас­по­ло­жен­ный ровно по се­ре­ди­не сек­ции. Центр тя­же­сти трёх гру­зи­ков опре­де­лить не со­став­ля­ет труда из пра­ви­ла ры­ча­гов. Стоит от­ме­тить, что нас ин­те­ре­су­ет лишь то, на­хо­дит­ся центр тя­же­сти над пло­ща­дью опоры или нет, т. е. его по­ло­же­ние по го­ри­зон­та­ли.

Те­перь вы­чис­лим все тре­бу­е­мые ве­ли­чи­ны. Дно у вазы квад­рат­ное и имеет пло­щадь S  =  64 см². В то же время, сто­ро­на этого квад­ра­та  —че­ты­ре клет­ки, что видно из ри­сун­ка. От­сю­да можем сде­лать вывод, что одна клет­ка на ри­сун­ке со­от­вет­ству­ет двум сан­ти­мет­рам.

Тогда пер­вый мо­мент не­устой­чи­во­сти вазы будет при объёме воды, рав­ном S · 8 см  =  512 см³  =  512 мл.

Легко ви­деть, что цен­тры тя­же­сти пер­вой и вто­рой сек­ции на­хо­дят­ся друг над дру­гом и на рас­сто­я­нии в пол клет­ки от края вазы. Со­ста­вим урав­не­ние для вто­ро­го слу­чая:

От­сю­да:

А зна­чит, не­устой­чи­вость вазы за­кон­чит­ся при­объёме воды, рав­ном 1280 мл. При даль­ней­шем до­ли­ва­нии воды центр тя­же­сти всей вазы будет толь­ко сме­щать­ся к цен­трц, т. е. ваза будет сто­ять устой­чи­во.

Ответ: Ваза будет сто­ять устой­чи­во, если в ней не более, чем 512 мл воды, либо не менее чем 1280 мл воды.

На зонд дей­ству­ют две силы: сила тя­же­сти Mg и сила ар­хи­ме­да со сто­ро­ны воз­ду­ха Вб­ли­зи по­верх­но­сти Земли сила Ар­хи­ме­да зна­чи­тель­но пре­вы­ша­ет силу тя­же­сти, за счёт чего зонд будет под­ни­мать­ся. По мере на­бо­ра вы­со­ты плот­ность воз­ду­ха будет убы­вать, а вме­сте с тем и его вы­тал­ки­ва­ю­щая сила. Зонд под­ни­мет­ся на вы­со­ту, на ко­то­рой силы равны друг другу.

За­пи­шем урав­не­ние Масса зонда равна массе ап­па­ра­ту­ры и массе шара: Под­став­ляя и пре­об­ра­зуя ра­вен­ство, по­лу­чим

Ис­а­оль­зуя гра­фик, на­хо­дим, что плот­но­сти ат­мо­сфе­ры со­от­вет­ству­ет вы­со­та h  =  6 км.

Ответ: Зонд под­ни­мет­ся на вы­со­ту 6 км.

За ми­ну­ту на­гре­ва­тель­ный кон­тур про­хо­дит шесть лит­ров воды. Вода подаётся в кон­тур при тем­пе­ра­ту­ре T₀, а вы­те­ка­ет из кон­ту­ра при не­из­вест­ной тем­пе­ра­ту­ре T. В кон­ту­ре за ту же ми­ну­ту вы­де­ля­ет­ся сум­мар­но (W₁ + W₂) · 60 c тепла. Мы можем за­пи­сать урав­не­ние теп­ло­во­го ба­лан­са для на­гре­ва­те­ля. За­ме­тим, что урав­не­ние теп­ло­во­го ба­лан­са  — это про­сто закон со­хра­не­ния энер­гии, и он вы­пол­ня­ет­ся вне за­ви­си­мо­сти от того, как именн­то вода цир­ку­ли­ру­ет по кон­ту­ру.

Имеем:

Учи­ты­вая на­чаль­ную тем­пе­ра­ту­ру по­лу­ча­ем ответ.

Ответ: Тем­пе­ра­ту­ра воды, вы­те­ка­ю­щей из кон­ту­ра, рав­ня­ет­ся 80 °C.

Нить па­у­ти­ны рвётся, если сила её на­тя­же­ния ока­зы­ва­ет­ся боль­ше, чем F  =  0,15 H. Это озна­ча­ет, что если нить рас­тя­нуть более, чем на три сан­ти­мет­ра, она порвётся. Дей­стви­тель­но, если см, то и это пре­дель­ное до­пу­сти­мое зна­че­ние.

За че­ты­ре се­кун­ды все концы нитей сдви­нут­ся на u · 4  =  10 см. Рас­смот­рим, на­при­мер, го­ри­зон­таль­ную боль­шую нить па­у­ти­ны (со­сто­я­щую из шести нитей). Она долж­на была либо по­рвать­ся, либо удли­нить­ся на 20 см. Но если шесть нитей удли­ни­лись на 20 сан­ти­мет­ров, то какая-то из нитей явно удли­ни­лась более, чем на три сан­ти­мет­ра. Но при этом она не­ми­ну­е­мо долж­на была по­рвать­ся.

Ответ: Через че­ты­ре се­кун­ды па­у­ти­на уже не будет целой.

От мо­мен­та, когда люк вы­бро­сит бомбу, до мо­мен­та, когда та до­ле­тит до по­верх­но­сти "Звез­ды смер­ти", пройдёт ровно По Го­ри­зон­та­ли бомба при этом успе­ет про­ле­теть Это озна­ча­ет, что если к мо­мен­ту окон­ча­ния при­це­ли­ва­ния Люк будет не ближе, чем на рас­сто­я­нии S от цели, то он су­ме­ет по­ра­зить цель. (Иначе бомба в любом слу­чае до­стиг­нет по­верх­но­сти "Звез­ды смер­ти" уже за целью).

С дру­гой сто­ро­ны, к мо­мен­ту окон­ча­ния при­це­ли­ва­ния Люк будет на рас­сто­я­нии от цели. А зна­чит, долж­но быть таким, чтобы дан­ное рас­сто­я­ние не пре­вы­ша­ло S. Усло­вие за­пи­шет­ся в виде

Ответ: Ско­рость Люка не долж­на пре­вы­шать 333 м/с.

Му­равьи, раз­бе­га­ясь из точки B, об­ра­зу­ют круг ра­ди­у­са в мо­мент вре­ме­ни t (см. рис.). Пер­вая точка пе­ре­се­че­ния линии щетки и му­ра­вьев  — точка O, в ко­то­рой линия щетки яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к окруж­но­сти, об­ра­зо­ван­ной му­ра­вья­ми. Таким об­ра­зом, от­ре­зок пер­пен­ди­ку­ля­рен на­прав­ле­нию щетки, а место встре­чи  — точка O Рас­смот­рим мо­мент вре­ме­ни t. Тре­уголь­ник A`OB  — пря­мо­уголь­ный с углом Для та­ко­го тре­уголь­ни­ка верно сле­ду­ю­щее со­от­но­ше­ние:

От­ку­да можно по­лу­чить вы­ра­же­ние для вре­ме­ни встре­чи t:

Ответ:

По усло­вию, бомба вы­па­да­ет из ис­тре­би­те­ля без на­чаль­ной ско­ро­сти, т. е. на­чаль­ная ско­рость бомбы вдоль вер­ти­каль­ной оси y (па­рал­лель­ной g)  — ну­ле­вая, вдоль го­ри­зон­таль­ной x (пер­пен­ди­ку­ляр­ной g)  — Рас­сто­я­ние по вы­со­те, ко­то­рое надо пре­одо­леть бомбе  — h. До­пу­стим, бомба ле­те­ла время t. Тогда урав­не­ние дви­же­ния бомбы вдоль оси y будет вы­гля­деть так:

По усло­вию, Люк узнаёт о на­ли­чие шахты, когда рас­сто­я­ние между ними было l по го­ри­зон­та­ли. Весь путь l бомба пре­одо­ле­ла со ско­ро­стью вдоль оси x: сна­ча­ла в ис­три­би­те­ле, затем 'своим ходом'. Таким об­ра­зом, урав­не­ние дви­же­ния вдоль го­ри­зон­та­ли вы­гля­дит сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Если вы­ра­зить время дви­же­ния бомбы через h и под­ста­вить в урав­не­ние дви­же­ния вдоль оси x, то вы­ра­же­ние для ско­ро­сти по­лу­чит­ся сле­ду­ю­щим:

Те­перь до­ка­жем, что по­лу­чен­ня ско­рость мак­си­маль­на. Един­ствен­ная воз­мож­ность из­ме­нить дан­ный ответ, это за­дер­жать вы­брос бомбы на t`. Тогда по­лу­чен­ная ско­рость будет вы­гля­деть так:

Оче­вид­но, что мак­си­мум дан­ной функ­ции на­хо­дит­ся при t`  =  0.

Ответ:

Яр­кость лам­поч­ки на­ка­ли­ва­ния про­пор­ци­о­наль­на мощ­но­сти, т. е. ~RI², где R  — со­про­тив­ле­ние лам­поч­ки, I  — ток, те­ку­щий через неё. Сле­до­ва­тель­но, мак­си­маль­ная яр­кость до­сти­га­ет­ся при мак­си­маль­ном токе, те­ку­щем через лам­поч­ку, ми­ни­маль­ная яр­кость  — при ми­ни­маль­ном токе. На­ри­су­ем эк­ви­ва­лент­ную схему. По­сле­до­ва­тель­но со­еди­не­ны стрел­ка, обод се­кун­до­ме­ра (R)_обода и лам­поч­ка (см. рис.). Мак­си­маль­ный ток до­сти­га­ет­ся тогда, когда со­про­тив­ле­ние обода се­кун­до­ме­ра об­ну­ля­ет­ся, т. е. при по­ло­же­нии стрел­ки "45 се­кунд".

Так как обод се­кун­до­ме­ра  — ме­тал­ли­че­ский, то можно предо­ста­вить пол­ное со­про­тив­ле­ние обода сле­ду­ю­щим об­ра­зом: где   — длина обода, S  — его по­пе­реч­ное се­че­ние, а   — удель­ное со­про­тив­ле­ние ма­те­ри­а­ла. Стрел­ка часов делит обод на два со­про­тив­ле­ния, со­еди­нен­ных па­рал­лель­но, ве­ли­чи­на ко­то­рых за­ви­сит от длин дуг. Со­ста­вим про­пор­цию по от­но­ше­нию к "се­кун­дам":

где l  — длина дуги обода се­кун­до­ме­ра от '45' се­кунд до стрел­ки. Тогда со­про­тив­ле­ние R₁ дуги l:

Чтобы вы­яс­нить пол­ное со­про­тив­ле­ние обода се­кун­до­ме­ра R_обода, надо по­счи­тать па­рал­лель­ное со­про­тив­ле­ние R₁ и R₂:

Со­про­тив­ле­ние R_обода под­клю­че­но в схему по­сле­до­ва­тель­но с лам­поч­кой, зна­чит, для ми­ни­маль­но­го тока, те­ку­ще­го через лампу на­ка­ли­ва­ния, со­про­тив­ле­ние долж­но быть мак­си­маль­ным, что про­ис­хо­дит при ре­ше­нии сле­ду­ю­ще­го урав­не­ния:

Вер­ши­на дан­ной па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся в точке t  =  15 сек.

Ответ: Через 15 се­кунд яр­кость лам­поч­ки будет ми­ни­маль­ной, через 45  — мак­си­маль­ной.

Ис­ко­мую массу паука обо­зна­чим через m. Об­ра­тим вни­ма­ние, что даже в про­гнув­шей­ся па­у­ти­не по­пе­реч­ные нити, об­ра­зу­ю­щие ше­сти­уголь­ни­ки, оста­ют­ся не­рас­тя­ну­ты­ми  — они по­про­сту по­сту­па­тель­но опус­ка­ют­ся вниз.

Дей­стви­тель­но, рас­смот­рим па­у­ти­ну, в ко­то­рой уда­ле­ны все по­пе­реч­ные нити. После того, как паук за­бе­рет­ся в центр такой упрощённой па­у­ти­ны, центр опу­стит­ся на не­ко­то­рую ве­ли­чи­ну. Есте­ствен­но, что ра­ди­аль­ные нити оста­нут­ся при этом пря­мы­ми, а по­ло­же­ние, ко­то­рое займёт паук, будет устой­чи­вым по­ло­же­ни­ем рав­но­ве­сия. Об­ра­тим вни­ма­ние, что при опус­ка­нии цен­тра па­у­ти­ны вниз, рас­сто­я­ния между точ­ка­ми, где кре­пи­лись по­пе­реч­ные нити, оста­нет­ся не­из­мен­ным. Для этого рас­смот­рим какую-ни­будь по­пе­реч­ную нить в любом тре­уголь­ни­ке, об­ра­зо­ван­ном со­сед­ни­ми ра­ди­аль­ны­ми ни­тя­ми (см. рис.). Длина этой нити а x опре­де­ля­ет­ся по­до­би­ем тре­уголь­ни­ков

Когда точка O сдви­га­ет­ся под весом паука, ве­ли­чи­ны a и b из­ме­ня­ют­ся про­пор­ци­о­наль­но а ве­ли­чи­на s оста­ет­ся не­из­мен­ной, зна­чит, длина любой по­пе­реч­ной нити x не ме­ня­ет­ся. Вер­нем те­перь по­пе­реч­ные нити об­рат­но. По­сколь­ку они не рас­тя­ну­ты, они никак не вли­я­ют на по­ло­же­ние паука и не из­ме­ня­ют на­тя­же­ние ра­ди­аль­ных нитей. Если те­перь паук сле­зет с па­у­ти­ны, она не­пре­рыв­ным об­ра­зом вернётся в ис­ход­ное со­сто­я­ние.

Таким об­ра­зом, по­пе­реч­ные нити не ока­зы­ва­ют вли­я­ния на си­сте­му, и их на самом деле можно убрать из рас­смот­ре­ния. До­ста­точ­но рас­смот­реть паука мас­сой m, ко­то­ро­го удер­жи­ва­ют шесть ра­ди­аль­ных эла­стич­ных па­у­тин­ных нитей.

По усло­вию за­да­чи па­у­тин­ная нить дли­ной l имеет жёсткость k, то есть под дей­стви­ем силы F рас­тя­ги­ва­ет­ся на Ра­диль­ная па­у­ти­на, со­сто­я­щая из трёх таких кус­ков, под дей­стви­ем силы F рас­тя­нет­ся на (каж­дый ку­со­чек рас­тя­нет­ся на ). Зна­чит, жёсткость всей ра­ди­аль­ной па­у­ти­ны це­ли­ком равна

Рас­смот­рим усло­вие рав­но­ве­сия паука в про­ек­ции на вер­ти­каль­ную ось. На вто­ром ри­сун­ке изоб­ра­же­ны две из шести ра­ди­аль­ных нитей сбоку (в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти) в двух по­ло­же­ни­ях: в не­рас­тя­ну­том со­сто­я­нии, и про­гнув­ши­е­ся под весом паука. Угол между про­гнув­шей­ся нитью и вер­ти­ка­лью обо­зна­чим через а силу упру­го­сти в длин­ной ра­ди­аль­ной нити  — через F _упр.

Из вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на по­лу­ча­ем усло­вие вер­ти­каль­но­го рав­но­ве­сия си­сте­мы:

Найдём F _упр. Как видно из ри­сун­ка, длина у рас­тя­ну­той ра­ди­аль­ной нити по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна Сле­до­ва­тель­но, в ка­ж­жой из шести ра­ди­аль­ных нитей воз­ни­ка­ет сила упру­го­сти

Также, не­труд­но из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка найти угол :

После под­ста­нов­ки (2, 3) в (1) по­лу­чим

от­ку­да легко по­лу­ча­ем ответ

Ответ:

Урав­не­ние теп­ло­во­го ба­лан­са для на­гре­ва­ния воды:

где Q  — теп­ло­та, по­лу­ча­е­мая водой, c  — удель­ная теп­ло­ем­кость, m  — масса на­гре­ва­е­мой воды,   — из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры. Шесть лит­ров воды, по­па­да­ю­щей в си­сте­му с двумя на­гре­ва­те­ля­ми, по­лу­ча­ют теп­ло­ту Q  =  W · t, ко­то­рую за ми­ну­ту про­из­во­дят два на­гре­ва­те­ля мощ­но­стью W₁ и W₂: Масса на­гре­ва­ю­щей­ся воды равна тогда урав­не­ние теп­ло­во­го ба­лан­са может быть пе­ре­пи­са­но сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Имеем:

Ответ: Тем­пе­ра­ту­ра воды, вы­те­ка­ю­щей из кон­ту­ра равна 55 °C.