Ско­рость жука можно найти по фор­му­ле

Ответ: 3.

Будем счи­тать, что на­чаль­ная ско­рость и на­се­ко­мо­го, и ве­точ­ки равны 0. В ре­зуль­та­те вза­и­мо­дей­ствия им­пульс силы, дей­ству­ю­щей на ве­точ­ку, равен из­ме­не­нию ее им­пуль­са

Дви­же­ние на­се­ко­мо­го в си­сте­ме от­сче­та, свя­зан­ной с вет­кой, рав­но­уско­рен­ное, пе­ре­ме­ще­ние равно

По за­ко­ну со­хра­не­ния им­пуль­са в си­сте­ме от­сче­та, свя­зан­ной с Зем­лей,

Ско­рость на­се­ко­мо­го от­но­си­тель­но Земли

Учи­ты­вая, что масса на­се­ко­мо­го в два раза мень­ше массы ве­точ­ки и на­прав­ле­ние век­то­ров ско­ро­сти на­се­ко­мо­го и ве­точ­ки про­ти­во­по­лож­ное, при про­ек­ти­ро­ва­нии на ось, свя­зан­ную с дви­же­ни­ем ве­точ­ки, по­лу­ча­ем, что

Объ­еди­няя все урав­не­ния, по­лу­ча­ем

Ответ: 3.

Най­дем мак­си­маль­ное со­про­тив­ле­ние про­во­ло­ки

Учи­ты­вая, что со­про­тив­ле­ние рас­счи­ты­ва­ет­ся по фор­му­ле по­лу­ча­ем:

Ответ: 78.

Пусть на еди­ни­цу пло­ща­ди под­лож­ки в еди­ни­цу вре­ме­ни по­па­да­ет n ато­мов се­реб­ра. Будем счи­тать, что атомы летят с оди­на­ко­вой ско­ро­стью Удары ато­мов о под­лож­ку можно счи­тать аб­со­лют­но не­упру­ги­ми, так как се­реб­ро оса­жда­ет­ся. Тогда дав­ле­ние p, ока­зы­ва­е­мое на под­лож­ку, равно где масса атома

Ско­рость атома най­дем из ки­не­ти­че­ской энер­гии атома

Пусть за про­ме­жу­ток вре­ме­ни на уча­сток под­лож­ки пло­ща­дью S па­да­ет N ато­мов, и при этом оса­жда­ет­ся масса m се­реб­ра. Тогда объем оса­див­ше­го­ся слоя равен а его тол­щи­на равна

Учи­ты­вая, что для ско­ро­сти роста тол­щи­ны се­реб­ра по­лу­чим:

Ответ: 90.

Обо­зна­чим па­лоч­ку АВ, при этом точка В на­хо­дит­ся на оп­ти­че­ской оси линзы (см. рис).

Най­дем, на каком рас­сто­я­нии от линзы будет на­хо­дить­ся изоб­ра­же­ние этой точки, ис­поль­зуя фор­му­лу тон­кой линзы:

Най­дем от­рез­ки АС и СВ:

Тогда рас­сто­я­ние от точки С до линзы равно 4 см, то есть на­хо­дит­ся в 2F, из чего де­ла­ем вывод, что точка С₁ будет также на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 4 см, а длина от­рез­ка

В тре­уголь­ни­ке сто­ро­на

Тогда длина изоб­ра­же­ния па­лоч­ки равна:

Ответ: 2,6.

Из пра­ви­ла ры­ча­гов легко по­нять, что ваза будет сто­ять устой­чи­во тогда, когда центр её тя­же­сти (вме­сте с водой) на­хо­дит­ся над пло­ща­дью опоры. В ином слу­чае ваза пе­ре­вернётся.

Когда в вазе мало воды, центр тя­же­сти будет на­хо­дит­ся над ос­но­ва­ни­ем, и ваза будет сто­ять устой­чи­во. Будем по­сте­пен­но до­ли­вать воду. Пер­вый мо­мент, когда ваза ста­нет не­устой­чи­вой, легко опре­де­лить из сим­мет­рии (см. рис. 1). В этом слу­чае, оче­вид­но, центр тя­же­сти вазы с водой будет на­хо­дить­ся ровно над краем ос­но­ва­ния; при до­ли­ва­нии ма­ло­го ко­ли­че­ства воды уентр тя­же­сти пе­ре­ме­стит­ся влево, и ваза упадёт.

Будем до­ли­вать воду даль­ше. Когда пер­вая сек­ция будет це­ли­ком за­пол­не­на, центр тя­же­сти будет на­хо­дить­ся за пре­де­ла­ми ос­но­ва­ния. Ана­ло­гич­но при любом про­цен­те за­пол­не­ния вто­рой сек­ции.

На­учим­ся опре­де­лять центр тя­же­сти вазы, когда часть тре­тьей сек­ции за­пол­не­на. Пер­вые две сек­ции мы можем за­ме­нить на гру­зи­ки, мас­са­ми, рав­ны­ми массе воды в этих сек­ци­ях, и рас­по­ло­жен­ны­ми прямо под их цен­тра­ми тя­же­сти (см. рис. 2). Воду же в тре­тьей сек­ции мы можем за­ме­нить на гру­зик, мас­сой, рав­ной массе воды в этой сек­ции, и рас­по­ло­жен­ный ровно по се­ре­ди­не сек­ции. Центр тя­же­сти трёх гру­зи­ков опре­де­лить не со­став­ля­ет труда из пра­ви­ла ры­ча­гов. Стоит от­ме­тить, что нас ин­те­ре­су­ет лишь то, на­хо­дит­ся центр тя­же­сти над пло­ща­дью опоры или нет, т. е. его по­ло­же­ние по го­ри­зон­та­ли.

Те­перь вы­чис­лим все тре­бу­е­мые ве­ли­чи­ны. Дно у вазы квад­рат­ное и имеет пло­щадь S  =  36 см². В то же время, сто­ро­на этого квад­ра­та  —три клет­ки, что видно из ри­сун­ка. От­сю­да можем сде­лать вывод, что одна клет­ка на ри­сун­ке со­от­вет­ству­ет двум сан­ти­мет­рам.

Тогда пер­вый мо­мент не­устой­чи­во­сти вазы будет при объёме воды, рав­ном S · 6 см  =  216 см³  =  216 мл.

Легко ви­деть, что цен­тры тя­же­сти пер­вой и вто­рой сек­ции на­хо­дят­ся друг над дру­гом и на рас­сто­я­нии в пол клет­ки от края вазы. Со­ста­вим урав­не­ние для вто­ро­го слу­чая:

От­сю­да:

А зна­чит, не­устой­чи­вость вазы за­кон­чит­ся при­объёме воды, рав­ном 576 мл. При даль­ней­шем до­ли­ва­нии воды центр тя­же­сти всей вазы будет толь­ко сме­щать­ся к цен­трц, т. е. ваза будет сто­ять устой­чи­во.

Ответ: Ваза будет сто­ять устой­чи­во, если в ней не более, чем 216 мл воды, либо не менее чем 576 мл воды.

На зонд дей­ству­ют две силы: сила тя­же­сти Mg и сила ар­хи­ме­да со сто­ро­ны воз­ду­ха Вб­ли­зи по­верх­но­сти Земли сила Ар­хи­ме­да зна­чи­тель­но пре­вы­ша­ет силу тя­же­сти, за счёт чего зонд будет под­ни­мать­ся. По мере на­бо­ра вы­со­ты плот­ность воз­ду­ха будет убы­вать, а вме­сте с тем и его вы­тал­ки­ва­ю­щая сила. Зонд под­ни­мет­ся на вы­со­ту, на ко­то­рой силы равны друг другу.

За­пи­шем урав­не­ние Масса зонда равна массе ап­па­ра­ту­ры и массе шара: Под­став­ляя и пре­об­ра­зуя ра­вен­ство, по­лу­чим

Ис­а­оль­зуя гра­фик, на­хо­дим, что плот­но­сти ат­мо­сфе­ры со­от­вет­ству­ет вы­со­та h  =  9 км.

Ответ: Зонд под­ни­мет­ся на вы­со­ту 9 км.

За ми­ну­ту на­гре­ва­тель­ный кон­тур про­хо­дит шесть лит­ров воды. Вода подаётся в кон­тур при тем­пе­ра­ту­ре T₀, а вы­те­ка­ет из кон­ту­ра при не­из­вест­ной тем­пе­ра­ту­ре T. В кон­ту­ре за ту же ми­ну­ту вы­де­ля­ет­ся сум­мар­но (W₁ + W₂) · 60 c тепла. Мы можем за­пи­сать урав­не­ние теп­ло­во­го ба­лан­са для на­гре­ва­те­ля. За­ме­тим, что урав­не­ние теп­ло­во­го ба­лан­са  — это про­сто закон со­хра­не­ния энер­гии, и он вы­пол­ня­ет­ся вне за­ви­си­мо­сти от того, как именн­то вода цир­ку­ли­ру­ет по кон­ту­ру.

Имеем:

Учи­ты­вая на­чаль­ную тем­пе­ра­ту­ру по­лу­ча­ем ответ.

Ответ: Тем­пе­ра­ту­ра воды, вы­те­ка­ю­щей из кон­ту­ра, рав­ня­ет­ся 75 °C.

Нить па­у­ти­ны рвётся, если сила её на­тя­же­ния ока­зы­ва­ет­ся боль­ше, чем F  =  0,1 H. Это озна­ча­ет, что если нить рас­тя­нуть более, чем на два сан­ти­мет­ра, она порвётся. Дей­стви­тель­но, если см, то и это пре­дель­ное до­пу­сти­мое зна­че­ние.

За пять се­кунд все концы нитей сдви­нут­ся на u · 5  =  7,5 см. Рас­смот­рим, на­при­мер, го­ри­зон­таль­ную боль­шую нить па­у­ти­ны (со­сто­я­щую из шести нитей). Она долж­на была либо по­рвать­ся, либо удли­нить­ся на 15 см. Но если шесть нитей удли­ни­лись на 15 сан­ти­мет­ров, то какая-то из нитей явно удли­ни­лась более, чем на два сан­ти­мет­ра. Но при этом она не­ми­ну­е­мо долж­на была по­рвать­ся.

Ответ: Через пять се­кунд па­у­ти­на уже не будет целой.

От мо­мен­та, когда люк вы­бро­сит бомбу, до мо­мен­та, когда та до­ле­тит до по­верх­но­сти "Звез­ды смер­ти", пройдёт ровно По Го­ри­зон­та­ли бомба при этом успе­ет про­ле­теть Это озна­ча­ет, что если к мо­мен­ту окон­ча­ния при­це­ли­ва­ния Люк будет не ближе, чем на рас­сто­я­нии S от цели, то он су­ме­ет по­ра­зить цель. (Иначе бомба в любом слу­чае до­стиг­нет по­верх­но­сти "Звез­ды смер­ти" уже за целью).

С дру­гой сто­ро­ны, к мо­мен­ту окон­ча­ния при­це­ли­ва­ния Люк будет на рас­сто­я­нии от цели. А зна­чит, долж­но быть таким, чтобы дан­ное рас­сто­я­ние не пре­вы­ша­ло S. Усло­вие за­пи­шет­ся в виде

Ответ: Ско­рость Люка не долж­на пре­вы­шать 285 м/с.

Му­равьи, раз­бе­га­ясь из точки B, об­ра­зу­ют круг ра­ди­у­са в мо­мент вре­ме­ни t (см. рис.). Пер­вая точка пе­ре­се­че­ния линии щетки и му­ра­вьев  — точка O, в ко­то­рой линия щетки яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к окруж­но­сти, об­ра­зо­ван­ной му­ра­вья­ми. Таким об­ра­зом, от­ре­зок пер­пен­ди­ку­ля­рен на­прав­ле­нию щетки, а место встре­чи  — точка O Рас­смот­рим мо­мент вре­ме­ни t. Тре­уголь­ник A`OB  — пря­мо­уголь­ный с углом Для та­ко­го тре­уголь­ни­ка верно сле­ду­ю­щее со­от­но­ше­ние:

От­ку­да можно по­лу­чить вы­ра­же­ние для вре­ме­ни встре­чи t:

Ответ:

По усло­вию, бомба вы­па­да­ет из ис­тре­би­те­ля без на­чаль­ной ско­ро­сти, т. е. на­чаль­ная ско­рость бомбы вдоль вер­ти­каль­ной оси y (па­рал­лель­ной g)  — ну­ле­вая, вдоль го­ри­зон­таль­ной x (пер­пен­ди­ку­ляр­ной g)  — Рас­сто­я­ние по вы­со­те, ко­то­рое надо пре­одо­леть бомбе  — h. До­пу­стим, бомба ле­те­ла время t. Тогда урав­не­ние дви­же­ния бомбы вдоль оси y будет вы­гля­деть так:

По усло­вию, Люк узнаёт о на­ли­чие шахты, когда рас­сто­я­ние между ними было l по го­ри­зон­та­ли. Весь путь l бомба пре­одо­ле­ла со ско­ро­стью вдоль оси x: сна­ча­ла в ис­три­би­те­ле, затем 'своим ходом'. Таким об­ра­зом, урав­не­ние дви­же­ния вдоль го­ри­зон­та­ли вы­гля­дит сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Если вы­ра­зить время дви­же­ния бомбы через h и под­ста­вить в урав­не­ние дви­же­ния вдоль оси x, то вы­ра­же­ние для ско­ро­сти по­лу­чит­ся сле­ду­ю­щим:

Те­перь до­ка­жем, что по­лу­чен­ня ско­рость мак­си­маль­на. Един­ствен­ная воз­мож­ность из­ме­нить дан­ный ответ, это за­дер­жать вы­брос бомбы на t`. Тогда по­лу­чен­ная ско­рость будет вы­гля­деть так:

Оче­вид­но, что мак­си­мум дан­ной функ­ции на­хо­дит­ся при t`  =  0.

Ответ:

Яр­кость лам­поч­ки на­ка­ли­ва­ния про­пор­ци­о­наль­на мощ­но­сти, т. е. ~RI², где R  — со­про­тив­ле­ние лам­поч­ки, I  — ток, те­ку­щий через неё. Сле­до­ва­тель­но, мак­си­маль­ная яр­кость до­сти­га­ет­ся при мак­си­маль­ном токе, те­ку­щем через лам­поч­ку, ми­ни­маль­ная яр­кость  — при ми­ни­маль­ном токе. На­ри­су­ем эк­ви­ва­лент­ную схему. По­сле­до­ва­тель­но со­еди­не­ны стрел­ка, обод се­кун­до­ме­ра (R)_обода и лам­поч­ка (см. рис.). Мак­си­маль­ный ток до­сти­га­ет­ся тогда, когда со­про­тив­ле­ние обода се­кун­до­ме­ра об­ну­ля­ет­ся, т. е. при по­ло­же­нии стрел­ки "45 се­кунд".

Так как обод се­кун­до­ме­ра  — ме­тал­ли­че­ский, то можно предо­ста­вить пол­ное со­про­тив­ле­ние обода сле­ду­ю­щим об­ра­зом: где   — длина обода, S  — его по­пе­реч­ное се­че­ние, а   — удель­ное со­про­тив­ле­ние ма­те­ри­а­ла. Стрел­ка часов делит обод на два со­про­тив­ле­ния, со­еди­нен­ных па­рал­лель­но, ве­ли­чи­на ко­то­рых за­ви­сит от длин дуг. Со­ста­вим про­пор­цию по от­но­ше­нию к "се­кун­дам":

где l  — длина дуги обода се­кун­до­ме­ра от '45' се­кунд до стрел­ки. Тогда со­про­тив­ле­ние R₁ дуги l:

Чтобы вы­яс­нить пол­ное со­про­тив­ле­ние обода се­кун­до­ме­ра R_обода, надо по­счи­тать па­рал­лель­ное со­про­тив­ле­ние R₁ и R₂:

Со­про­тив­ле­ние R_обода под­клю­че­но в схему по­сле­до­ва­тель­но с лам­поч­кой, зна­чит, для ми­ни­маль­но­го тока, те­ку­ще­го через лампу на­ка­ли­ва­ния, со­про­тив­ле­ние долж­но быть мак­си­маль­ным, что про­ис­хо­дит при ре­ше­нии сле­ду­ю­ще­го урав­не­ния:

Вер­ши­на дан­ной па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся в точке t  =  15 сек.

Ответ: Через 15 се­кунд яр­кость лам­поч­ки будет ми­ни­маль­ной, через 45  — мак­си­маль­ной.

Ис­ко­мую массу паука обо­зна­чим через m. Об­ра­тим вни­ма­ние, что даже в про­гнув­шей­ся па­у­ти­не по­пе­реч­ные нити, об­ра­зу­ю­щие ше­сти­уголь­ни­ки, оста­ют­ся не­рас­тя­ну­ты­ми  — они по­про­сту по­сту­па­тель­но опус­ка­ют­ся вниз.

Дей­стви­тель­но, рас­смот­рим па­у­ти­ну, в ко­то­рой уда­ле­ны все по­пе­реч­ные нити. После того, как паук за­бе­рет­ся в центр такой упрощённой па­у­ти­ны, центр опу­стит­ся на не­ко­то­рую ве­ли­чи­ну. Есте­ствен­но, что ра­ди­аль­ные нити оста­нут­ся при этом пря­мы­ми, а по­ло­же­ние, ко­то­рое займёт паук, будет устой­чи­вым по­ло­же­ни­ем рав­но­ве­сия. Об­ра­тим вни­ма­ние, что при опус­ка­нии цен­тра па­у­ти­ны вниз, рас­сто­я­ния между точ­ка­ми, где кре­пи­лись по­пе­реч­ные нити, оста­нет­ся не­из­мен­ным. Для этого рас­смот­рим какую-ни­будь по­пе­реч­ную нить в любом тре­уголь­ни­ке, об­ра­зо­ван­ном со­сед­ни­ми ра­ди­аль­ны­ми ни­тя­ми (см. рис.). Длина этой нити а x опре­де­ля­ет­ся по­до­би­ем тре­уголь­ни­ков

Когда точка O сдви­га­ет­ся под весом паука, ве­ли­чи­ны a и b из­ме­ня­ют­ся про­пор­ци­о­наль­но а ве­ли­чи­на s оста­ет­ся не­из­мен­ной, зна­чит, длина любой по­пе­реч­ной нити x не ме­ня­ет­ся. Вер­нем те­перь по­пе­реч­ные нити об­рат­но. По­сколь­ку они не рас­тя­ну­ты, они никак не вли­я­ют на по­ло­же­ние паука и не из­ме­ня­ют на­тя­же­ние ра­ди­аль­ных нитей. Если те­перь паук сле­зет с па­у­ти­ны, она не­пре­рыв­ным об­ра­зом вернётся в ис­ход­ное со­сто­я­ние.

Таким об­ра­зом, по­пе­реч­ные нити не ока­зы­ва­ют вли­я­ния на си­сте­му, и их на самом деле можно убрать из рас­смот­ре­ния. До­ста­точ­но рас­смот­реть паука мас­сой m, ко­то­ро­го удер­жи­ва­ют шесть ра­ди­аль­ных эла­стич­ных па­у­тин­ных нитей.

По усло­вию за­да­чи па­у­тин­ная нить дли­ной l имеет жёсткость k, то есть под дей­стви­ем силы F рас­тя­ги­ва­ет­ся на Ра­диль­ная па­у­ти­на, со­сто­я­щая из трёх таких кус­ков, под дей­стви­ем силы F рас­тя­нет­ся на (каж­дый ку­со­чек рас­тя­нет­ся на ). Зна­чит, жёсткость всей ра­ди­аль­ной па­у­ти­ны це­ли­ком равна

Рас­смот­рим усло­вие рав­но­ве­сия паука в про­ек­ции на вер­ти­каль­ную ось. На вто­ром ри­сун­ке изоб­ра­же­ны две из шести ра­ди­аль­ных нитей сбоку (в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти) в двух по­ло­же­ни­ях: в не­рас­тя­ну­том со­сто­я­нии, и про­гнув­ши­е­ся под весом паука. Угол между про­гнув­шей­ся нитью и вер­ти­ка­лью обо­зна­чим через а силу упру­го­сти в длин­ной ра­ди­аль­ной нити  — через F _упр.

Из вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на по­лу­ча­ем усло­вие вер­ти­каль­но­го рав­но­ве­сия си­сте­мы:

Найдём F _упр. Как видно из ри­сун­ка, длина у рас­тя­ну­той ра­ди­аль­ной нити по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна Сле­до­ва­тель­но, в ка­ж­жой из шести ра­ди­аль­ных нитей воз­ни­ка­ет сила упру­го­сти

Также, не­труд­но из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка найти угол :

После под­ста­нов­ки (2, 3) в (1) по­лу­чим

от­ку­да легко по­лу­ча­ем ответ

Ответ:

Урав­не­ние теп­ло­во­го ба­лан­са для на­гре­ва­ния воды:

где Q  — теп­ло­та, по­лу­ча­е­мая водой, c  — удель­ная теп­ло­ем­кость, m  — масса на­гре­ва­е­мой воды,   — из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры. Шесть лит­ров воды, по­па­да­ю­щей в си­сте­му с двумя на­гре­ва­те­ля­ми, по­лу­ча­ют теп­ло­ту Q  =  W · t, ко­то­рую за ми­ну­ту про­из­во­дят два на­гре­ва­те­ля мощ­но­стью W₁ и W₂: Масса на­гре­ва­ю­щей­ся воды равна тогда урав­не­ние теп­ло­во­го ба­лан­са может быть пе­ре­пи­са­но сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Имеем:

Ответ: Тем­пе­ра­ту­ра воды, вы­те­ка­ю­щей из кон­ту­ра равна 55 °C.

Му­равьи, раз­бе­га­ясь из точки B, об­ра­зу­ют круг ра­ди­у­са в мо­мент вре­ме­ни t (см. рис.). Пер­вая точка пе­ре­се­че­ния линии щетки и му­ра­вьев  — точка O, в ко­то­рой линия щетки яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к окруж­но­сти, об­ра­зо­ван­ной му­ра­вья­ми. Таким об­ра­зом, от­ре­зок пер­пен­ди­ку­ля­рен на­прав­ле­нию щетки, а место встре­чи  — точка O Рас­смот­рим мо­мент вре­ме­ни t. Тре­уголь­ник A`OB  — пря­мо­уголь­ный с углом Для та­ко­го тре­уголь­ни­ка верно сле­ду­ю­щее со­от­но­ше­ние:

От­ку­да можно по­лу­чить вы­ра­же­ние для вре­ме­ни встре­чи t:

При­ме­ча­ние: Также, со­отео­ше­ние для сто­рон OB и BA`верно сле­ду­ю­щее:

что и при­во­дит к на­пи­сан­но­му выше.

Ответ:

По усло­вию, бомба вы­па­да­ет из ис­тре­би­те­ля без на­чаль­ной ско­ро­сти, т. е. на­чаль­ная ско­рость бомбы вдоль вер­ти­каль­ной оси y (па­рал­лель­ной g)  — ну­ле­вая, вдоль го­ри­зон­таль­ной x (пер­пен­ди­ку­ляр­ной g)  — Рас­сто­я­ние по вы­со­те, ко­то­рое надо пре­одо­леть бомбе  — h. До­пу­стим, бомба ле­те­ла время t. Тогда урав­не­ние дви­же­ния бомбы вдоль оси y будет вы­гля­деть так:

По усло­вию, Люк узнаёт о на­ли­чие шахты, когда рас­сто­я­ние между ними было l по го­ри­зон­та­ли. Весь путь l бомба пре­одо­ле­ла со ско­ро­стью вдоль оси x: сна­ча­ла в ис­три­би­те­ле, затем 'своим ходом'. Таким об­ра­зом, урав­не­ние дви­же­ния вдоль го­ри­зон­та­ли вы­гля­дит сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Если вы­ра­зить время дви­же­ния бомбы через h и под­ста­вить в урав­не­ние дви­же­ния вдоль оси x, то вы­ра­же­ние для рас­сто­я­ния l по­лу­чит­ся сле­ду­ю­щим:

Те­перь до­ка­жем, что по­лу­чен­ня ско­рость мак­си­маль­на. Един­ствен­ная воз­мож­ность из­ме­нить дан­ный ответ, это за­дер­жать вы­брос бомбы на t`. Тогда по­лу­чен­ное рас­сто­я­ние будет вы­гля­деть так:

Оче­вид­но, что мак­си­мум дан­ной функ­ции на­хо­дит­ся при t`  =  0.

Ответ:

Яр­кость лам­поч­ки на­ка­ли­ва­ния про­пор­ци­о­наль­на мощ­но­сти, т. е. ~RI², где R  — со­про­тив­ле­ние лам­поч­ки, I  — ток, те­ку­щий через неё. Сле­до­ва­тель­но, мак­си­маль­ная яр­кость до­сти­га­ет­ся при мак­си­маль­ном токе, те­ку­щем через лам­поч­ку, ми­ни­маль­ная яр­кость  — при ми­ни­маль­ном токе. На­ри­су­ем эк­ви­ва­лент­ную схему. По­сле­до­ва­тель­но со­еди­не­ны стрел­ка, обод се­кун­до­ме­ра (R)_обода и лам­поч­ка (см. рис.). Мак­си­маль­ный ток до­сти­га­ет­ся тогда, когда со­про­тив­ле­ние обода се­кун­до­ме­ра об­ну­ля­ет­ся, т. е. при по­ло­же­нии стрел­ки "15 се­кунд".

Так как обод се­кун­до­ме­ра  — ме­тал­ли­че­ский, то можно предо­ста­вить пол­ное со­про­тив­ле­ние обода сле­ду­ю­щим об­ра­зом: где   — длина обода, S  — его по­пе­реч­ное се­че­ние, а   — удель­ное со­про­тив­ле­ние ма­те­ри­а­ла. Стрел­ка часов делит обод на два со­про­тив­ле­ния, со­еди­нен­ных па­рал­лель­но, ве­ли­чи­на ко­то­рых за­ви­сит от длин дуг. Со­ста­вим про­пор­цию по от­но­ше­нию к "се­кун­дам":

где l  — длина дуги обода се­кун­до­ме­ра от '15' се­кунд до стрел­ки. Тогда со­про­тив­ле­ние R₁ дуги l:

Со­про­тив­ле­ние остав­шей­ся дуги от стрел­ки до кон­так­та "на месте" 15 се­кунд:

Чтобы вы­яс­нить пол­ное со­про­тив­ле­ние обода се­кун­до­ме­ра R_обода, надо по­счи­тать па­рал­лель­ное со­про­тив­ле­ние R_x1 и R_x2:

Со­про­тив­ле­ние R_обода под­клю­че­но в схему по­сле­до­ва­тель­но с лам­поч­кой, зна­чит, для ми­ни­маль­но­го тока, те­ку­ще­го через лампу на­ка­ли­ва­ния, со­про­тив­ле­ние долж­но быть мак­си­маль­ным, что про­ис­хо­дит при ре­ше­нии сле­ду­ю­ще­го урав­не­ния:

Вер­ши­на дан­ной па­ра­бо­лы на­хо­дит­ся в точке t  =  45 сек.

Ответ: Через 45 се­кунд яр­кость лам­поч­ки будет ми­ни­маль­ной, через 15  — мак­си­маль­ной.

Ис­ко­мую жёсткость обо­зна­чим через k Об­ра­тим вни­ма­ние, что даже в про­гнув­шей­ся па­у­ти­не по­пе­реч­ные нити, об­ра­зу­ю­щие ше­сти­уголь­ни­ки, оста­ют­ся не­рас­тя­ну­ты­ми  — они по­про­сту по­сту­па­тель­но опус­ка­ют­ся вниз.

Дей­стви­тель­но, рас­смот­рим па­у­ти­ну, в ко­то­рой уда­ле­ны все по­пе­реч­ные нити. После того, как паук за­бе­рет­ся в центр такой упрощённой па­у­ти­ны, центр опу­стит­ся на не­ко­то­рую ве­ли­чи­ну. Есте­ствен­но, что ра­ди­аль­ные нити оста­нут­ся при этом пря­мы­ми, а по­ло­же­ние, ко­то­рое займёт паук, будет устой­чи­вым по­ло­же­ни­ем рав­но­ве­сия. Об­ра­тим вни­ма­ние, что при опус­ка­нии цен­тра па­у­ти­ны вниз, рас­сто­я­ния между точ­ка­ми, где кре­пи­лись по­пе­реч­ные нити, оста­нет­ся не­из­мен­ным. Для этого рас­смот­рим какую-ни­будь по­пе­реч­ную нить в любом тре­уголь­ни­ке, об­ра­зо­ван­ном со­сед­ни­ми ра­ди­аль­ны­ми ни­тя­ми (см. рис.). Длина этой нити а x опре­де­ля­ет­ся по­до­би­ем тре­уголь­ни­ков

Когда точка O сдви­га­ет­ся под весом паука, ве­ли­чи­ны a и b из­ме­ня­ют­ся про­пор­ци­о­наль­но а ве­ли­чи­на s оста­ет­ся не­из­мен­ной, зна­чит, длина любой по­пе­реч­ной нити x не ме­ня­ет­ся. Вер­нем те­перь по­пе­реч­ные нити об­рат­но. По­сколь­ку они не рас­тя­ну­ты, они никак не вли­я­ют на по­ло­же­ние паука и не из­ме­ня­ют на­тя­же­ние ра­ди­аль­ных нитей. Если те­перь паук сле­зет с па­у­ти­ны, она не­пре­рыв­ным об­ра­зом вернётся в ис­ход­ное со­сто­я­ние.

Таким об­ра­зом, по­пе­реч­ные нити не ока­зы­ва­ют вли­я­ния на си­сте­му, и их на самом деле можно убрать из рас­смот­ре­ния. До­ста­точ­но рас­смот­реть паука мас­сой m, ко­то­ро­го удер­жи­ва­ют шесть ра­ди­аль­ных эла­стич­ных па­у­тин­ных нитей.

Если па­у­тин­ная нить дли­ной l имеет жёсткость k, то под дей­стви­ем силы F рас­тя­ги­ва­ет­ся на Ра­диль­ная па­у­ти­на, со­сто­я­щая из трёх таких кус­ков, под дей­стви­ем силы F рас­тя­нет­ся на (каж­дый ку­со­чек рас­тя­нет­ся на ). Зна­чит, жёсткость всей ра­ди­аль­ной па­у­ти­ны це­ли­ком равна

Рас­смот­рим усло­вие рав­но­ве­сия паука в про­ек­ции на вер­ти­каль­ную ось. На вто­ром ри­сун­ке изоб­ра­же­ны две из шести ра­ди­аль­ных нитей сбоку (в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти) в двух по­ло­же­ни­ях: в не­рас­тя­ну­том со­сто­я­нии, и про­гнув­ши­е­ся под весом паука. Угол между про­гнув­шей­ся нитью и вер­ти­ка­лью обо­зна­чим через а силу упру­го­сти в длин­ной ра­ди­аль­ной нити  — через F _упр.

Из вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на по­лу­ча­ем усло­вие вер­ти­каль­но­го рав­но­ве­сия си­сте­мы:

Найдём F _упр. Как видно из ри­сун­ка, длина у рас­тя­ну­той ра­ди­аль­ной нити по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна Сле­до­ва­тель­но, в ка­ж­жой из шести ра­ди­аль­ных нитей воз­ни­ка­ет сила упру­го­сти

Также, не­труд­но из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка найти угол :

После под­ста­нов­ки (2, 3) в (1) по­лу­чим

от­ку­да легко по­лу­ча­ем ответ

Ответ:

Урав­не­ние теп­ло­во­го ба­лан­са для на­гре­ва­ния воды:

где Q  — теп­ло­та, по­лу­ча­е­мая водой, c  — удель­ная теп­ло­ем­кость, m  — масса на­гре­ва­е­мой воды,   — из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры. Шесть лит­ров воды, по­па­да­ю­щей в си­сте­му с двумя на­гре­ва­те­ля­ми, по­лу­ча­ют теп­ло­ту Q  =  W · t, ко­то­рую за ми­ну­ту про­из­во­дят два на­гре­ва­те­ля мощ­но­стью W₁ и W₂: Масса на­гре­ва­ю­щей­ся воды равна тогда урав­не­ние теп­ло­во­го ба­лан­са может быть пе­ре­пи­са­но сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

Имеем:

Ответ: Тем­пе­ра­ту­ра воды, вы­те­ка­ю­щей из кон­ту­ра равна 80 °C.